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一次偶遇引发的数学思考

摘要：数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。这就奠定了数学这一学科的实用性，在我们现实生活中处处留心皆学问。本文就从笔者在一次偶遇中所想所思讲起，把现实的问题抽象出数学问题，并运用五年级接触的方程进行解答，又适当地进行延伸拓展。从这一个实例出发能够很好地感触到数学的使用价值，还有我们在现实的数学教学中如何凸显它的这一价值和向学生灌输真正的数学。

关键字：追及，方程，思维能力

引言：现实生活中的一次偶然经历，触发了笔者的思考，本文是在小学阶段所学一元一次方程的基础上展开的，由于追及问题是小学阶段的难点也是重点，特别是这类问题的拓展学生更难理解。于是由这次经历展开，详细阐述追及相关的部分问题，由于篇幅有限有些内容没有完全展开，整篇内容只是停留在小学内容阶段。特别是方程的展现为解决追及问题提供了一个十分有效的途径，小学只是要求能用等式的性质解简单的方[2]程，所以本文举出的只是一些简单明了的实例。本文的阐述观点还是数学来源于生活，理应服务于生活的实用主义观点，希望能由此文引领出数学实用主义教学新篇章。

在我们的日常生活中处处都蕴含着五彩斑斓的数学问题，如果我们有心，处处都可见。我们要及时记录和思考，否则它们就会像昙花一样，转瞬即逝。近日，笔者陪孩子玩碰碰车游戏时就遇到这样一个生活中的数学问题：怎样才能追得上——追及问题。

一、一个有趣的问题：狗兔赛跑

狗在兔子前面200米，一步能跳跃2米，而兔子更快，一步跳4米，兔子追上狗需要跳多少步？问题分析：我们知道，兔子跳一步比狗跳一步远4－2=2（米），也就是兔子跳一步可追上狗2米，现在狗与兔子相距200米，因此，只要算出200米中有几个2米，那么就知道兔子跳了多少步追上狗的。不难看出200÷2=100（步），这是兔子跳的步数。

概念解析：这里狗在前面，兔子在后面追。它们一开始相差200米，这200米叫做“追及距离”；狗每步跳2米，兔子每步跳4米，它们每步相差2米，这个叫“速度差”；兔子追上狗所需的步数叫做“追及步数”有时是以秒、分钟、小时计算，则叫“追及时间”，像这种包含追及距离、速度差和追及时间三个量的应用题，叫做追及问题。

二、问题提出

甲车和乙车相距有一段距离，并且它们还是同向行驶的。甲在后，乙在前，甲车速度快，乙车速度慢，甲车要追上乙车。这样问题就产生了，即是否可以在一定时间或距离内追上乙车？如果行驶路线不是直线呢？为把这个问题研究的更加深入，笔者做了下述思考。

１.如果A、B两地相距450千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶90千米，甲车出发60分钟后，乙车从B地出发同向而行，每小时行驶60千米，当两车相距60千米时，甲车从出发开始共行了多少小时？

对这个问题进行深入的思考，就产生了这样一些有趣的数学问题：

（１）甲车、乙车同向行驶，如果甲车在乙车的前面。两车能在某一时刻相距60千米的距离吗？

（２）还是同向行驶，反过来乙车在甲车的前面。两车还能在某一时刻相距60千米的距离吗？

（３）上述两种情况如果能达到相距120千米的距离，是相遇前还是相遇后？这些问题的讨论是在行走路线是直线的理想情况下讨论的。笔者由笛卡尔《几何》的方法论观点所得的一些小小的启示是：问题的解决应先从一些最简单的情形入手，这将有助于我们弄清楚在何种情形下，能够达到题目所叙述的目的，避免漏掉一些情形。

２.问题各种情形的探究

（１）甲、乙两车同向行驶，甲车在乙车的前面。由于60分=1时并且乙车启动时两车相距450+90×1=540千米，且甲车速度快于乙车，所以两车的距离会在理想的情形下，越拉越大，永远都达不到相距60千米的情况。但是现实情形甲、乙两车不可能无休止的行驶下去，当甲车到达目的地停止，乙车追上来，这时两车相距才能出现60千米的情形。

２）同向行驶，乙车在甲车的前面。由于甲车快乙车慢，两车的距离会越来越短，可能会在某一时刻出现相距60千米的情形。

利用小学阶段学习的一元一次方程进行解答。

相遇前

解：设乙车行驶ｘ小时后，两车相距60千米，60分=1时。

根据题意列出方程：90×1+90ｘ+60=60ｘ+450

解得：ｘ=10

甲车共行驶10＋1=11（时）

相遇时

解：设甲车行驶y小时后两车相遇。

根据题意列出方程：90y=60(y－1)+450

解得：y=13

相遇后

解：设相遇后甲车再行驶z小时，两车相距60千米。

根据题意列出方程：（90－60）z=60

解得：??????z=2

甲车共行驶13＋2=15（小时）

（３）思考：甲、乙两车同向右行驶，乙车在前，甲车在后。两车会不会在线段AB之内某一点相距60千米？

以上三种情况的讨论，能够很好的培养小学生的思维能力和调动学习数学的积极性。特别是后面两种情况，不仅考虑没相遇之前能不能相距60千米的情况，还应考虑相遇之后