选修1-1--第一章-常用逻辑用语知识及例题讲解.docVIP

常用逻辑用语知识及例题解析

目标认知：1.理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.

2.了解命题“假设p,那么q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，分析四种命题相互关系.

3.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.

4.理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否认.

重点：充分条件与必要条件的判定难点：根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。

知识要点梳理：

知识点一：命题：

1.定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题.

〔1〕命题由题设和结论两局部构成.命题通常用小写英文字母表示，如p,q,r,m,n等.

〔2〕命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.数学中的定义、公理、定理等都是真命题

〔3〕命题“”的真假判定方式：

①假设要判断命题“”是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：一定推出.

②假设要判断命题“”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.

注意：“不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.

2.逻辑联结词：“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.

〔1〕不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题.

〔2〕复合命题的构成形式：①p或q；②p且q；③非p〔即命题p的否认〕.

〔3〕复合命题的真假判断〔利用真值表〕：

非

真

真

假

真

真

真

假

假

真

假

假

真

真

真

假

假

假

真

假

假

真假相反

一真必真

一假必假

注意：〔1〕逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以“p或q”为例：一是p成立

且q不成立，二是p不成立但q成立，三是p成立且q也成立。可以类比于集合中“或”.

〔2〕“或”、“且”联结的命题的否认形式：“p或q”的否认是“p且q”；“p且q”的否认是“p或q”.

〔3〕对命题的否认只是否认命题的结论；否命题，既否认题设，又否认结论。

题型一：命题、真命题、假命题的判断

例1：以下语句是命题的是()

A．梯形是四边形B．作直线ABC．x是整数 D．今天会下雪吗解：A

例2．以下说法正确的选项是()

A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题

C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题

解析：对于A，改写成“假设p，那么q”的形式应为“假设有两个角是直角，那么这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．应选D.

变式练习：以下命题是真命题的是()

A．{?}是空集B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N||x－1|3))是无限集C．π是有理数D．x2－5x＝0的根是自然数

解析：选D.x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．

题型二：复合命题的结构

例3．将以下命题改写成“假设p，那么q”的形式，并判断命题的真假：

(1)6是12和18的公约数；

(2)当a－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；

(3)x、y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.

解析：(1)假设一个数是6，那么它是12和18的公约数，是真命题．

(2)假设a－1，那么方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题因为当a＝0时，方程变为2x－1＝0，此时只有一个实根x＝eq\f(1,2).

(3)x、y为非零自然数，假设y－x＝2，那么y＝4，x＝2，是假命题．

题型三：命题真假判断中求参数范围

例4、p：x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0(m∈R)无实根，求使p为真命题且q也为真命题的m的取值范围．

解析：假设p为真，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－40，,m0，))解得m2.假设q为真，那么Δ＝16(m－2)2－160，解得1m3.

p真，q真，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2，,1m3.))故m的取值范围是(2,3)．

变式练习：命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：0x4，假设命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．

解：命题p是真命题，那么x2－2x－2≥1，∴x≥3或x≤－1，