数学课堂导学排列组合的综合应用.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课堂指导

三点剖析

一、排列数组合数的运算

【例1】已知==.

解析：已知条件可化为

=

=,

又n!,（m—1）！（n—m—1）！都是正整数,故有

即

解得

所以==56.

温馨提示

要注意依据排列数与组合数公式及其变形，在计算过程中要注意阶乘的运算,组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用.

二、排列与组合的差别

【例2】某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法?

解析：把六门课程看成六个元素，把顺序看成位置

（1）位置分析法:依第一节课的情况进行分类，有以下情况排法:

①第一节课排数学，第六节课排体育，共有种排法。

②第一节课排数学，第六节课不排体育，共有种排法.

③第一节课不排数学，第六节课排体育，共有种排法.

④第一节课不排数学,第六节课不排体育，共有种排法。

由分类计数原理，所求的不同排法共有++=504种.

（2)元素分析法:依数学课的排法进行分类，有以下情况的排法：

①数学课排在第一节，体育课排在第六节,共有种排法。

②数学课排在第一节，体育课不排在第六节,共有种排法。

③数学课不排在第一节，体育课排在第六节,共有种排法.

④数学课不排在第一节，体育课不排在第六节，共有种排法。

由分类计数原理，所求的不同排法共有++=504种。

温馨提示

排列组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题，它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序。不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队,因此，分析解决排列组合问题的基本思路是“先选之，再排队”.

三、排列、组合的综合应用

【例3】从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学。

思路分析：若设共有n名同学,则我们可以用n把参赛方法种数表示出来，从而得到一个关于n的方程，解方程可求出n的值。

解：设共有n名同学，首先从这n名同学中选出4人，然后再分别参加竞赛,按同学甲进行分类:第一类,不选甲，则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4种竞赛，有种参赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有种方法，再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3种竞赛，有种方法，共有·种参赛方式,由分类计数原理共有+·种方法,根据题意，得

+·=72

解得n=5。

温馨提示

对于这类较为复杂的问题，往往会感到无从下手，如果从竞赛学科角度来思考，则需分很多情况,容易出错，而我们可以采取“先取后排”的原则，即首先取出符合条件的元素，再按要求把它们排起来，这样解答条理性强，有利于问题的解决。

各个击破

类题演练1

化简+++…+。

解析：由于—=n,

则+2+3+…+n

=（—)+（-）+（-）+…+—

=—1=(n+1）！-1。

变式提升1

求+++…+的值.

解析：由知n满足3n≤13+n①

由知n满足17-n≤2n.②

联立①②得≤n≤,而n∈N＊，

所以n=6

所以原式=++…+

=++…+

=19+18+…+12=124.

类题演练2

用数字0，1，2，3，4,5组成没有重复数字的四位数。

（1）可组成多少个不同的四位数?

（2）可组成多少个不同的四位偶数？

解析：(1）直接法:=300；间接法:—=300;

（2）由题意知四位数个位数上必须是偶数；同时暗含了首位不能是0，因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”，应优先处理，另一方面，0既是偶数，又不能排在首位,属“特殊元素”应重点对待。

方法一：（直接法）0在个位的四位偶数有个;0不在个位时，先从2,4中选一个放在个位,再从余下的四个数（不包括0）中选一个放在首位,应有··个。

综上所述，共有+··=156个.

方法二:(间接法）从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法，有·,其中第一位是0的有·个，故适合题意的数有··=156个。

变式提升2

将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中.

（1）有多少种放法？

（2）每盒至多一球,有多少种放法？

（3）恰好有一个空盒，有多少种放法?

解析：(1）每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个,将小球一个一个地放入盒子，共有4×4×4×4=44=256种放法.

（2）为全排列问题,共有=24种方法。

(3)方法一：先将四个小球分为三组,有种，

再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子，有种投放方法,

故共有=144（种）.

方法二:先取4个