【学案】《1.1_周期变化》.docVIP

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§1周期变化

课程内容标准

学科素养凝练

了解三角函数的周期性，三角函数是一类最典型的周期函数.

通过实例及具体函数，研究函数的周期性，提升数学抽象素养.

一、周期函数

一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．

二、最小正周期

如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)的最小正周期.

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”．

(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期变化． ()

(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期变化． ()

(3)我国每年夏季小麦的产量是周期变化的． ()

答案(1)√(2)√(3)×

2．(教材P3练习1改编)钟表的分针每小时转一圈，则它周期变化最小正周期为________.

60分钟[因为分针每小时转一圈，且重复旋转，所以是周期变化，最小正周期为60分钟．]

3．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________.

2[观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2.]

探究一周期变化的判断

[知能解读]周期变化的作用

1．应用周期变化中“周而复始”的规律性可以达到“化繁为简”“化无限为有限”的目的；

2．只要确定好周期变化中重复出现的“基本单位”，就可以把问题转化到一个周期内解决．

判断下列现象是否为周期变化，并说明理由．

(1)地球的自转；

(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；

(3)钟表的秒针的转动；

(4)某段高速公路每天通过的车辆数．

解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期变化．

(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期变化．

(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期变化．

(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有确定的规律，因此不是周期变化．

[方法总结]周期变化的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．

[训练1]判断下列现象是否为周期变化：

(1)交通路口的红绿灯变化；

(2)北京天安门广场的国旗每天日出时升旗，日落时降旗，每天的升旗时间；

(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．

解(1)红绿灯按一定顺序有规律的变化，是周期变化．

(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期变化．

(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期变化．

探究二周期性的应用

2020年5月1日是星期五，问2020年10月1日是星期几？

解按照公历记法，2020年5,7,8这三个月份都是31天，6、9月份各30天，因此从2020年5月1日到9月30日共有153天．因每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2020年5月1日再过154天恰好与5月1日都是星期五，这一天是2020年10月2日，因此2020年10月1日是星期四．

[变式1]试确定自2020年5月1日再过200天是星期几？

解由200＝28×7＋4知，自2020年5月1日再过200天是星期二．

[变式2]从2020年5月1日到2020年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？

解因为从2020年5月1日到2020年10月1日的154天中有22个完整的周期，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期一，22个星期五．

[变式3]试确定自2020年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？

解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周五，7k＋3天后为星期一．

[方法总结]应用周期性解决实际问题的两个要点

提醒：计算两个日期的间隔时间时要注意几月有30天，几月有31天，二月有28天(或29天)．

[训练2]受日月的引力影响，海水会发生涨落，这种现象叫作潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日部分时间