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趣味数学之幻方小诀窍
在趣味数学的探讨中，重要的题材之一是魔方阵。魔术方阵是由西方的Magicsquare翻译过来的，当然，东方也有不同的别称。在中国我们称之为幻方，我国古代那么有纵横图之称，而日本那么称之为魔方阵。所谓n阶魔方阵，乃是将1到ｎ2个整数排成一个ｎXｎ阶方阵，使得下面2n+2个和相等：
〔1〕每一列中ｎ个数之和，共得ｎ个和；
〔2〕每一行中ｎ个数之和，共得ｎ个和；
〔3〕每一对角在线ｎ个数之和，共得两个和。
此每一个和称为魔数=。
〔一〕由计算机测试的结果知道，二阶幻方不存在，当阶数由三阶增至四阶时，幻方个数由8个增至7040个，可见幻方数目增加得十分快速。
(二)(1)奇数阶幻方的建构法，中西方都有不同的成就，最著名的有杨辉法和达拉卢庇法，以下依序说明：
杨辉法：以方阵的中间位置之下一格做为出发点，再向右下方依序填入数字。假设右下格已有数字那么往下退两格，再继续往下填数字，直到填完为止，假设超出格子便跳到方阵的另一头。
达拉卢庇法：以方阵中间一行最上方的一格为出发点，再向右上方依序填入数字，假设右上格已有数字那么往下退一格，再继续往下填数字，直到填完为止，假设超出格子便跳到方阵的另一头。
(2)由杨辉法与达拉卢庇法的推广可以得到两对正交的拉丁方阵(两个方阵之中的符号两两配对后，没有重复的配对，称为正交)，可以推出许多不同的幻方，但仍受制于对角线，假设改以正交对角线拉丁方阵构做，应可产生更多种幻方。
〔二〕由四阶幻方造法推广得到偶数阶幻方的造法，因为偶数阶自然方阵中各行、各列之和成等差关系，由于n是偶数故可得一个左右对称的和〔假设以上下各数之和来讨论，也可以得到上下对称的结果〕，且两对角线的和恰等于魔数，所以可以利用行与行、列与列〔对称于中心轴〕的互换而造出幻方。
在我十来年的数学教育教学中，每当学生接触到幻方时，他们都对幻方近乎着迷，为大千数学世界中的这些毫不起眼的数字而折服。于是通过我自己的教学不断总结，下面对幻方的小诀窍予以说明。
奇数阶幻方的方法可以简单概括为方阵斜线对换法：
比方三阶幻方〔九宫幻方〕：
具体可以概括为以下几步：
第一步：将1——9九个整数如图1那样排列成方阵；
第二步：如图2，画斜线；
第三部：如图3，将图2中得到的正方形外四角的数字1、3、7、9，分别向斜线对面数三格，把数字填入空格内，即1和9交换，3和7交换入幻方格内。便得到了图4的三阶幻方〔九宫幻方〕，横排、数列，对角线上每三个数字的和都为15。
图5图6
图5
图6
图7
又如五阶幻方具体可以概括为以下几步：
第一步：将1——25这二十五个整数
横排之和数列之和对角线之和
横排之和
数列之和
对角线之和
对角线之和
图8
第二步：如图6，画斜线；
第三部：如图7，将图2中得到的正
方形外四角的数字〔1、2、6〕，〔4、5、10〕；
〔16、21、22〕，和〔20、24、25〕分别向
斜线对面数五格，把数字填入空格内，即1
和25交换，2和20交换，6和24交换，
5和21交换，4和16交换，10和22交换
填入幻方格内便得到了图8的五阶幻方，横排、数列，对角线上每三个数字的和都为65。
用同样的方法我们可以得到七阶幻方和九阶幻方
图10七阶幻方〔如图9—12〕
图10
图9
图9
对角线之和对角线之和竖
对角线之和
对角线之和
竖列之和
横排之和
图12
图11
九阶幻方〔如图13—15〕
图14图13
图14
图13
图
图15
对角线之和
对角线之和
对角线之和
横排之和
竖列之和
图16
横排之和于是我们便得到了奇数幻方的一般方法步骤，简单概括为：1、列队成方阵，2、画斜线，3、对角数字互换成幻方。
横排之和
偶数阶幻方的方法可以简单概括为方阵对角线数字互换和对面数字互换的方法：
比方四阶幻方
四阶幻方比拟简单，只需要交换对角线上的数字就能使横排、竖列、对角线上的和分别都等于34。
图18图19
图18
图19
图17
图17
具体步骤为：
第一步：将1——16十六个整数
竖列之和横排之和对角线之和对角线之和图2
竖列之和
横排之和
对角线之和
对角线之和
图20
第二步：如图18那样画出对角线和方框；
第三步：如图19—图20，将方阵中对角线上
的数字1和16，4和13，6和12，以及7和10
对换，便得到了图21的四阶幻方，
而六阶幻方就要复杂得多了，不仅仅需要交换
对角线上的数字，还需要横排对面交换，竖列对面交换。
竖列之和横排之和对角线之和
竖列之和
横排之和
对角线之和
对角线之和
图22
图21
竖列之和
竖列之和
横排之和
对角线之和
对角线之和
具体步骤如下：
第一步：将1——36三十六个整数
如图21排列成方阵；
第
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