常微分方程ODE复习.pptVIP

常微分方程1

基本概念微分方程：含有未知函数的导数〔或微分〕的方程。常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程。偏微分方程：未知函数是多元函数的微分方程。2

微分方程的阶：方程中未知函数的导数的最高阶数。一个微分方程，那么称它为该微分方程的解。微分方程的解：若函数满足微分方程的解可以是显函数，也可为隐函数。3

通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，该解称为微分方程的通解。初始条件：当自变量取某数值时，要求未知函数及其导数取给定的值，这种条件称为初始条件。4

特解：满足给定初始条件的解，称为微分方程的特解。的几何图形，称为微分方程的一条积分曲线。积分曲线：微分方程的特解5

一阶微分方程一、变量可别离的微分方程：行如：解法：两边积分有6

例：1、求微分方程的通解。2、求微分方程满足初始条件的特解3、=7

二、齐次型微分方程行如：解法：令则代入有如8

三、一阶线性微分方程行如：当自由项时，即称为一阶线性齐次微分方程。称为一阶线性非齐次微分方程。若9

1、线性齐次微分方程的通解：解法：两边积分10

2、线性非齐次微分方程的通解：解法：采用常数变易法设非齐次线性方程的通解为代入方程经计算有通解：11

可降阶的二阶微分方程一、型的微分方程：解法：连续两次积分，通解含有两个任意常数。类似地，高阶方程解法：n次积分。12

二、型的微分方程：特点：方程的右端不显含y解法：设则代入有该式为以x为自变量，函数为一阶微分方程。13

三、型的微分方程特点：方程的右端不显含x解法：设那么于是方程化为此方程为一阶微分方程。14

二阶线性微分方程形如：称为二阶线性微分方程当时，方程称为二阶线性齐次微分方程15

一、线性微分方程解的结构定理1：如果是线性齐次方程的解，则和也是线性齐次方程的解。16

线性相关：如果与之比为常数。线性无关：如果与之比不为常数。17

定理2：如果是线性齐次方程的两个线性无关解，那么该方程的通解为18

定理3：如果是二阶线性非齐次方程齐次方程的通解，那么非齐次方程的通解为的一个特解，是相应的19

二、二阶线性常系数齐次微分方程形如：特征根法：1、特征方程2、求特征方程的根，即特征根3、根据特征根的不同情况，写出相应的齐次方程的通解。20

若特征根为（1）当是两个不相等的实根齐通解为：（2）当是两个相等的实根，齐通解为（3）当是一对共轭复根，齐通解为21

例：1、求微分方程的通解。2、求微分方程的通解。3、求微分方程满足的特解。22

三、二阶线性常系数非齐次微分方程非齐通解=非齐特解+齐通解因此求二阶常系数非齐次微分方程的通解时，须先求出相应的齐次方程的通解，再求出非齐次微分方程的一个特解即可。23

（1）自由项的m次多项式其中是常数，是关于x特解形式为其中是与同次的多项式不是特征根是单特征根是重根24

例：1、求微分方程的通解2、求微分方程的通解25

〔2〕当自由项其中是常数，和分别是次和次多项式特解形如：26

其中是两个待定的m次多项式，不是特征根是特征根27

例：1、求微分方程的通解2、求微分方程满足的特解。3、28

假设是x’=A(t)x的基解矩阵，那么向量函数=是x’=A(t)x+f(t)的满足初始条件的解；向量函数=是x’=A(t)x+f(t)的满足初始条件的解.假设矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2…vn,它们对应的特征值分别是λ1,λ2…λn,那么矩阵=是常系数线性方程组x’=Ax的一个基解矩阵29

结束30