数学学案：预习导航22集合的运算第2课时.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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预习导航

课程目标

学习脉络

1.在具体情境中，了解补集和全集的含义．

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

3．理解补集思想在解题中的应用．

4．掌握集合交集、并集、补集的综合运算.

1．全集

在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示．

思考1全集一定包含任何元素吗？

提示：不一定．只要含有所有所要研究的对象即可做全集．换一句话说，所研究对象对应的集合一定为该全集的子集．

2．补集

自然语言

如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作?UA，读作“A在U中的补集”．

符号语言

?UA＝｛x|x∈U，且x?A}．

图形语言

补集的性质

A∪?UA＝U，A∩?UA＝?；?U（?UA）＝A

思考2如何理解全集与补集的关系？

提示：(1)全集是涵盖了所有研究对象的一个集合，它因研究的问题而异,是一个相对概念；(2)研究补集时,一定要搞清楚是相对于哪个全集的补集，同一个集合相对于不同的全集,其补集是不同的；（3)?UA表示U为全集时A的补集，如果全集换成其他集合（如R），则?UA中U也必须换成相应的集合(如?RA)；(4）?UA包括两个方面：首先A?U，即A是U的子集，其次是?UA＝{x|x∈U，且x?A}．

思考3如何用维恩图来解释?U（A∩B）＝?UA∪?UB与?U(A∪B)＝?UA∩?UB这两个重要结论？

提示：(1）用Venn图解释?U(A∩B）＝?UA∪?UB：

（2)用Venn图解释?U（A∪B）＝?UA∩?UB：

特别提醒子集A在全集U中的补集的求法：

从全集U中去掉所有属于A的元素，剩下的元素构成的集合即为A在U中的补集．例如,已知U＝｛a，b,c，d,e，f｝，A＝{b，f｝，求?UA.该题中显然A?U，从U中除去子集A的元素b，f，剩下的元素a,c，d，e构成的集合为?UA，即?UA＝{a，c,d，e}．另外，若是无限集，在实数范围内求补集，我们则可以充分利用数轴的直观性来求解．例如，已知U＝R，A＝{x｜x3｝,求?UA。用数轴表示可知?UA＝{x|x≤3}，如图中阴影部分所示.

在求补集时，还要特别注意看A是否满足A?U,再者需看清楚全集的范围，如，若U=｛x|x〉0},A={x｜x〉3｝,则?UA={x|0x≤3｝．