高等数学课件：方向导数与梯度.ppt

目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学方向导数与梯度8.7.1方向导数8.7.2梯度8.7.1方向导数定义:则称其值为函数在点P处沿方向l的方向导数.在点处沿方向l(方向角为存在下列记作极限:若函数方向导数与偏导数的关系当l与x轴同向时存在.同理,偏导数存在时,若偏导数存在,即l与y轴同向时,即为沿坐标轴正方向的方向导数★但如果方向导数存在，偏导数却未必存在如函数在点沿任意方向l但该点偏导数不存在！！★函数在一点沿任意方向方向导数存在，不一定可微！故在点不可微定理:沿任意方向l的方向导数都存在,证明:且在点P可微,得则函数在该点其中为l的方向角.由函数若函数在点可微,对于三元函数处沿方向l在点为)的方向导数为（方向角例1求函数在点P(1,1,1)沿向量的方向导数.解:向量l的方向余弦为例2求函数在点P(2,3)沿曲线朝x增大方向的方向导数.解:它在点P的切向量为将已知曲线用参数方程表示为例3设是曲面在点P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数8.7.2梯度方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：f增长最快的方向1定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作(gradient),在点处的梯度向量注:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影:(为方向l上的单位向量)解:方向导数的最大值.例4设函数求函数在点P(2,3)处例5证明:试证:处向径r的模,内容小结1方向导数三元函数在点沿方向l(方向角的方向导数为二元函数在点的方向导数为沿方向l(方向角为目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学