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第一节傅里叶积分傅里叶级数的复数形式傅里叶积分的引入傅里叶积分收敛定理四傅里叶积分的其他形式1
一傅里叶级数的复数形式傅里叶级数收敛定理设函数以为周期，且在上满足：1〕仅有有限个间断点，且每个间断点都是第一类的2〕仅有有限个极值点则的傅里叶级数(其中2
称为的傅里叶系数)是收敛的，且1）当为连续点时，收敛到2）当为间断点时，收敛到如果在使用欧拉公式3
那么可改写为令4
上面三个式子可统一写为可表示为式称为傅里叶级数的复数形式。如果将式代入式，我们有5
其中~符号“~”表示在的连续点相等。6
二傅里叶积分的引入设函数在区间上有定义，且在任何一个有限区间内满足1〕仅有有限个间断点，且每个间断点是第一类的；2〕仅有有限个极值点。令7
那么利用可知利用如果记上式又可以表示为如果记8
注意到因此可以写成由积分的定义，上式又可以看成~~9
即上式的右端称为函数的傅里叶积分公式(简称傅氏积分公式)。式的推导是十分不严格的。~10
三傅里叶积分收敛定理傅里叶积分收敛定理设函数在上满足下面条件1）在任何一个有限区间上满足狄氏条件，即有有限个间断点且每个间断点是第一类的，有有限个极值点；2）则傅氏积分11
且是收敛的，1）当为连续点时，收敛到2）当为间断点时，收敛到例设求的傅氏积分。解12
由此可得特别取有13
四傅里叶积分的其他形式在傅里叶积分公式中，利用欧拉公式我们有注意到为的奇函数，注意到为的偶函数，因此因此~~14
或称为傅立叶积分的实数形式。特别如果为偶函数，注意到是的偶函数，是的奇函数，因此有上式称为傅立叶余弦积分，同理如果为奇函数，我们可以得到傅立叶正弦积分~~15
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