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《三角形的内角（第一课时）》教案

教学目标

教学目标：理解三角形内角和定理.从度量、剪图、拼图等多角度认识三角形内角和定理，体会证明的必要性.

经历实验活动的过程，获取添加辅助线的思路和方法，能用平行线的性质证明三角形内角和于

180°，发展几何直观和逻辑推理，体验由试验几何到论证几何的研究过程.

在观察、实验、猜想、验证、推理等数学活动中，培养探索精神，获得丰富的情感体验.

教学重点：探索并证明三角形内角和定理.

教学难点：添加辅助线证明三角形内角和定理.

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

课前准备

三角形纸片，剪刀，量角器，直尺

3

分钟

动手操作

问题1在小学我们已经知道任意一个三角形的三个内角的和等于180°,你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究.

有的同学利用量角器度量一个三角形的三个内角的度数，计算这三个内角的和.但是，在度量的过程中，往往会有误差；有的同学通过剪图、拼图的方法得出结论，如图1、图2、图3、图4；还有的同学是通过折叠的方法得出结论，如图5.

形状不同的三角形有无数个，我们不可能用这些方法一一验证所有的三角形的内角和等于180°，我们采用的这些“验证”不是“数学证明”，不能完全让人信服，所以，需要通过推理的方法来证明：任意一个三角形的三个内角的和等于180°.

图1图2图3

图4图5

根据数学证明的一般过程，先任意画一个三角形ABC，结合图形，写出已知和求证.

已知：△ABC

求证：∠A+∠B+∠C=180°.

观察发现，图1、图2是将∠B和∠C剪下分别拼在∠A的左右，图3、图4是将∠A和∠B剪下分别拼在∠C的左右，图5是通过折叠，将三个角拼合到一起，不论是哪种方法，都是要将三个角拼合在一起.拼合到一起的目的是什么呢？为了得到了一个平角.有了平角，根据平角定义，就得到了180°.

12分钟

推理验证

问题2从这个操作过程中，你受到怎样的启发？你能发现证明的思路吗？

具体的，在图1中，∠B和∠C分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A的直线l，直线l与边BC有什么位置关系？

是平行.

问题3在操作过程中，我们发现了与边BC平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？能发现证明“三角形的内角和等于180°”的思路吗？

找到方法：可以通过添加与边BC平行的辅助线l，利用平行线的性质和平角的定义即可证明结论.

根据拼合过程的启发，我们找到了第一种证明方法.

证明：过点A作直线l，使得l∥BC.

∵l∥BC，

∴∠2=∠4(两直线平行，内错角相等).

同理∠3=∠5.

∵∠1，∠4，∠5组成平角，

∴∠1+∠4+∠5=180°(平角定义).

∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).

以上我们就证明了任意一个三角形的三个内角的和等于180°，得到如下定理：

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°．

在△ABC中，

∠A+∠B+∠C=180°.

有的同学说，我是将剪下的两个角拼在了第三个角的同一侧，这样也能形成一个平角，也就是下图的形式．

问题4你能模仿前面的证明过程，用这名同学提供的方法证明此定理吗？

证明：延长BC，过点C作直线l，使得l∥AB.

∵l∥BC，

∴∠1=∠4(两直线平行，内错角相等).

∠2=∠5(两直线平行，同位角相等).

∵∠3，∠4，∠5组成平角，

∴∠3+∠4+∠5=180°(平角定义).

∴∠1+∠2+∠3=180°(等量代换).

问题5通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？

从以上的操作和证明过程中，我们发现，利用平行线的性质转移角，利用平角的定义得到180°，从而完成证明．

除了过顶点作对边的平行线外，我们也可以在三角形的边上任取一点P分别作两边的平行线，或者在三角形的内部或外部任取一点，分别作三边的平行线，将三角形的三个内角转化为一个平角，然后进行证明．

这么多方法都是在图1、图3的操作基础上探索出来的，而图2、图4、图5则需要我们以后学习了新的几何知识（全等三角形及轴对称、旋转等内容），再验证它们的合理性．

有的同学说，构造平角就是为了得到180°，那么我还有另外一种得到180°的方法，不用移两个角、三个角，我只需要移一个角．

证明：过点C作CD∥AB.

则∠4=∠1(两直线平行，内错角相等)

∠2+∠BCD=180°(两直线平行，同旁内角互补)

即