2025年中考数学总复习第一部分考点精讲第三章函数第八节二次函数与几何综合题类型一：与动点、折叠有关的线段(周长)最值问题.pptx

第八节二次函数与几何综合[本节分三阶训练：一阶方法技巧突破练；二阶考向多维设问练；三阶综合提升练(见本书P172)]

类型一：与动点、折叠有关的线段(周长)最值问题(省卷2024－2023T27，2022－2021T28；兰州卷2017T28)

如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线第一象限内一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q.(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为；(－1，0)(3，0)(0，3)

(2)设点P的横坐标为t，则点P的坐标可表示为，点Q的坐标可表示为，点H的坐标可表示为，PM∥x轴与直线BC交于点M，则点M的坐标表示为，PM的长表示为；(t，－t2＋2t＋3)(t，－t＋3)(t，0)(t2－2t，－t2＋2t＋3)－t2＋3t

(3)设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示下面的距离：①点P到x轴的距离为；②点P到y轴的距离为；③点P到对称轴的距离为；④点P到原点O的距离为；⑤PQ的长为；⑥点P到直线BC的距离为.－t2＋2t＋3t|t－1|?－t2＋3t?

[针对省卷2024T27(3)][表示有公共端点的两条线段和的最小值]如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，B(－3，2)，在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，求点P的坐标．

?

?

同侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解决：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点P.

[表示没有公共端点的两条线段和的最小值]如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，E，F分别是AB，CD上的点，且AE＝CF，求CE＋BF的最小值．

?

?

【方法归纳】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，AC上的动点，且AD＝CE，求BE＋CD的最小值．特点：两条动线段相等，且不共线．解题思路：利用已知等线段为一边，通过添加辅助线构造全等三角形，将不共顶点的两条线段转化为共顶点的两条线段，再结合“两定一动”解决．

常见辅助线作法：作平行线，截取等线段．如图，过点C作CF∥AB，截取CF＝CA，连接EF，BF.

抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，顶点为点D.(1)如图①，若点P在x轴上，且PA＝PC，求点P的坐标；?

(2)如图②，若P是抛物线第四象限内的一动点，过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q，Ⅰ)求线段PQ的最大值；Ⅱ)求点P到直线BC距离的最大值；

?

?

【分层分析】

?

(3)如图③，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PAC的周长最小．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；解：存在．由题意知点A与点B关于对称轴x＝1对称，连接BC交直线x＝1于点P，此时△PAC的周长最小，设对称轴交x轴于点H，在Rt△PBH中，∠ABC＝45°，BH＝2，∴HP＝2.∴点P的坐标为(1，－2)．

【分层分析】将求△PAC周长最小转化为求PA＋PC最小，由“将军饮马模型”找某定点的对称点，连接另外一点得出动点P的位置，再根据三角函数(相似)或一次函数的解析式求解．

(4)如图④，P是直线BC上一动点，Q是抛物线第四象限内一动点，点Q的横坐标q满足0＜q≤2，连接PQ.求PQ＋PB的最小值．

?

?

[针对2023省卷T27(3)]如图，抛物线y＝－x2＋4x与x轴交于点A，与直线y＝－x相交于点B，P是线段OB上的动点，点Q在x轴正半轴上，且BP＝OQ，点C坐标为(0，－5)，连接BQ，PC，求CP＋BQ的最小值．

?

?