2017年全美大学生数学建模竞赛A题（M奖）（中文版）.pdf

治愈卡里巴水坝

□吴天舒秦昊琛何同乐

摘要

的确，这座始建于1955年的老坝现已迈入设计寿命的最后

时期。为了治好它，我们将对现有的三种方案进行简要评估。然

后，详尽分析方案3，建立数学模型确定诸小水坝的建设方案，

并以模型为依据给出调度策略。

针对问题一，为了简化评估过程，我们把建造和运行成本作

为评价成本的决定性依据，对于难以量化的社会成本不予考虑。

同时，我们把水力发电作为衡量效益的唯一标准，忽略与发电效

益相比收益甚微的渔业和旅游业方面的收益。

最终得出，选项一方案下，成本为45.2万亿美元，收益为

1166.9万亿美元；选项二方案下，成本为110.54万亿美元，收

益为1166.9万亿美元。

针对问题二，为了确定较小水坝的数量和位置，我们建立了

水管理能力最优化模型。在模型中，我们把从卡里巴水坝到卡布

拉巴萨水坝的河流区域，作为卡里巴水坝的水管理有效范围。我

们以河况为依据将该区域分成了三段，假设各段内的任意一处的

河面宽度等于平均河面宽度，并根据Google地图计算出了每段

的平均宽度和长度。为了达到与原卡里巴水坝达到相同的水管理

水平，我们建立了优化模型，以蓄水量、发电量和小坝数量作为

约束条件，建立与成本相关的目标函数，并利用MATLAB工具箱

进行求解。经过计算，我们得出建水坝的最优解为建设10个较

小水坝，河段Ⅰ建八个，河段Ⅱ建一个，河段Ⅲ建一个。并以此

计算出了选择三的成本和收益分别为100.91亿美元和271.25亿

美元。

针对模型二，为了制定多级水坝系统的调度策略，我们建立

了基于遗传算法的优化模型。以模型一为基础，我们把小水坝中

进水量和出水量的实际情况作为约束条件，并建立与安全和成本

相关的目标函数，运用遗传算法，通过多次赋值求得近似的全局

最优方案。结合第二个模型方案，我们针对洪水泛滥和连续干旱

两种极端情况进行了策略设计，并给出了具体策略。我们得出结

论，建造时，应加大前三个水坝的蓄水量，增加中间四个水坝的

装机容量，保持后三个水坝平稳运行，以此达到最优调度。

最后，我们进一步讨论了模型二中的目标函数。考虑到不同

时期水坝系统的运行目的不同，除了考虑安全和成本两个要素

外，还可以分别以收益和社会服务为目标。我们也对模型建立中，

用到的关键参数进行了敏感度分析。

关键词：水坝建设模型,最优解模型,MATLAB工具箱,遗

传算法

一、引言

（一）背景

最近，南非风险管理研究所的一份报告诊断出，位于赞比亚

和津巴布韦交界处的卡里巴水坝患上了重病。这座始建于1955

年的老坝仿佛风烛残年的蹒跚老人，生命岌岌可危。由于即将达

到设计的最大寿命，卡里巴水坝的各种问题已经逐渐凸显，甚至

在功能上已经起到了很深的负面影响。如果不能采取措施及时解

决，水坝就会像一颗埋藏的定时炸弹，随时威胁着下游居民的生

命财产安全。因此，需要一种合理的方案，对现阶段水坝存在的

问题进行深入分析，为卡里巴水坝开出良方。

理想的实施方案是能够在解决卡里巴水坝安全性问题的前

提下，保持水坝的水管理能力，力求让水坝持续创收。同时，让

方案所需的成本降至最小。

（二）研究情况

西安科技大学的孙建教授对于卡里巴水坝下游河床冲刷严

重这一问题的原因作了详尽的研究。卡里巴水坝下游河床冲深达

90米，是世界上河床冲刷最为严重的拱坝。通过对坝体的设计

情况进行分析，他得出由于溢洪道闸口佛劳德数较低，导致六股

溢洪道能量聚集的结论。这给我们在考虑卡里巴水坝修复方案方

面提供了借鉴。

图1水坝生病的主要原因

美国水利学者K•Oldham在论文中对美国退役水坝的拆除进

行了总结和评估，着重探究了拆除水坝的成本及其影响因素。其

中，他通过多重线性回归分析得出，装机容量和坝高两个因素左

右了83%的水坝拆除费用。

此外，多目标优化模型能够帮助解决多级水坝的选址问题，

这为设计水坝间的合理调度策略提供了极大方便。

（三）问题重述

幸运的是，赞比西河管理局已经意识到这一问题的严重性，

并已提出了三种解决方案。一是修复现有的卡里巴水坝；二是重

建现有的卡里巴水坝；三是拆除现有的卡里巴水