人教版八年级下册数学-解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法-经典通用.doc

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解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法

eq\a\vs4\al(◆)类型一特殊四边形中求最值、定值问题

一、利用对称性求最值【方法10】

1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．

第1题图第2题图

2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．

二、利用面积法求定值

如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．

【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和

(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．

变式题(1)图变式题(2)图

(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．

eq\a\vs4\al(◆)类型二正方形中利用旋转性解题

如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．

5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF＝S△ABE＋S△ADF.

6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.

求证：BP＋CP＝eq\r(2)OP.

参考答案与解析

eq\f(24,5)解析：如图，过点Q作QE⊥AC交AB于点E，则PQ＝PE.∴DP＋PQ＝DP＋PE.当点D，P，E三点共线的时候DP＋PQ＝DP＋PE＝DE最小，且DE即为所求．当DE⊥AB时，DE最小．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝eq\f(1,2)AC＝4，OB＝eq\f(1,2)BD＝3，∴AB＝5.∵S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝AB·DE，∴eq\f(1,2)×8×6＝5·DE，∴DE＝eq\f(24,5).∴DP＋PQ的最小值为eq\f(24,5).

2．6解析：如图，设BE与AC交于点P，连接BD.∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE，即P为AC与BE的交点时，PD＋PE最小，为BE的长度．∵正方形ABCD的边长为6，∴AB＝6.又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝6.故所求最小值为6.故答案为6.

eq\f(24,5)解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴OB＝OC＝eq\f(1,2)AC＝5.如图，连接OP，∵S△OBP＋S△OCP＝S△OBC，∴eq\f(OB·PF,2)＋eq\f(OC·PE,2)＝S△OBC，∴eq\f(5·PF,2)＋eq\f(5·PE,2)＝S△OBC.∵S△OBC＝eq\f(1,4)S矩形ABCD＝eq\f(1,4)AB·BC＝eq\f(1,4)×6×8＝12，∴eq\f(5·PF,2)＋eq\f(5·PE,2)＝12，∴PE＋PF＝eq\f(24,5).

【变式题】(1)eq\f(5,2)解析：∵菱形ABCD的周长为40，面积为25，∴AB＝AD＝10，S△ABD＝eq\f(25,2).连接AP，则S△ABD＝S△ABP＋S△ADP，∴eq\f(1,2)×10(PE＋PF)＝eq\f(25,2)，∴PE＋PF＝eq\f(5,2).

(2)eq\f(\r(2),2)解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S△BPE＋S△BPC＝S△BEC，∴eq\f(BE·PM,2)＋eq\f(BC·PN,2)＝eq\f(BC·EH,2).又∵BE＝BC，∴eq\f(PM,2)＋eq\f