正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳.docx

●高考明方向

驾驭正弦定理、余弦定理，

并能解决一些简洁的三角形度量问题．

★备考知考情

1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考

考察的热点．

2.常及三角恒等变换、平面对量相结合出如今解答题

中，综合考察三角形中的边角关系、三角形形态的

推断等问题．

3.三种题型都有可能出现，属中低档题.

一、学问梳理名师一号P62

学问点一正弦定理

(其中R为△外接圆的半径)

变形1:

变形2：

变形3：

留意：(补充)

关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式

均可利用正弦定理进展边角互化。

学问点二余弦定理

留意：(补充)

〔1〕关于边的二次式或关于角的余弦

均可考虑利用余弦定理进展边角互化。

〔2〕勾股定理是余弦定理的特例

〔3〕在中，

用于推断三角形形态

名师一号P63问题探究问题3

推断三角形形态有什么方法？

推断三角形形态的两种途径：

一是化边为角；

二是化角为边，

并常用正弦(余弦)定理施行边、角转换．

学问点三三角形中常见的结论

△的面积公式有：

①S＝\f(1,2)a·h(h表示a边上的高)；

②S＝\f(1,2)＝\f(1,2)＝\f(1,2)＝\f(,4R)；

知两边〔或两边的积〕及其夹角可求面积

③S＝\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．

(补充)

〔1〕

〔2〕在三角形中大边对大角，大角对大边．

〔3〕随意两边之和大于第三边，

随意两边之差小于第三边．

〔4〕有关三角形内角的常用三角函数关系式

利用及诱导公式可得之

〔5〕在△中的几个充要条件:

名师一号P63问题探究问题4

?\f(a,2R)\f(b,2R)?ab?AB.

(补充)

假设

或()

或()

45套之719

〔6〕锐角△中的常用结论

为锐角三角形

4．解斜三角形的类型

名师一号P63问题探究问题1

利用正、余弦定理可解决哪几类问题？

在解三角形时，

正弦定理可解决两类问题：

(1)两角及任一边，求其它边或角；

(2)两边及一边的对角，求其它边或角．

状况(2)中结果可能有一解、二解、无解，

应留意区分．

余弦定理可解决两类问题：

(1)两边及夹角或两边及一边对角的问题；

(2)三边问题．

(补充)两边和其中一边的对角〔如〕

用正弦定理或余弦定理均可

名师一号P63问题探究问题2

选用正、余弦定理的原则是什么？

假设式子中含有角的余弦或边的二次式，

要考虑用余弦定理；

假设遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，

则考虑用正弦定理；

以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

补充:

一、正弦定理推导必修5

证明思路：

转化到特别情形直角三角形中

二、余弦定理推导必修5

2021陕西高考考察余弦定理的证明

18.〔本小题总分值12分〕

表达并证明余弦定理。

，

，

.

证明：〔证法一〕如图，

即

同理可证，

〔证法二〕中，所对边分别为，以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，则，

∴，

即

同理可证，

二、例题分析：

〔一〕利用正、余弦定理解三角形

例1．〔1〕名师一号P62对点自测1

在△中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于()

A．5\r(2)B．10\r(2)\f(10\r(6),3)D．5\r(6)

解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，

由正弦定理得：\f()＝\f().

即\f(10,\f(\r(3),2))＝\f(c,\f(\r(2),2)).∴c＝\f(10\r(6),3).

留意：

两角及任一边，求其它边或角

正弦定理,解唯一

例1．〔2〕名师一号P62对点自测2

在△中，假设a＝3，b＝\r(3)，A＝\f(π,3)，

则C的大小为．

解析由正弦定理可知

＝\f()＝\f(\r(3)\f(π,3),3)＝\f(1,2)，

所以B＝\f(π,6)或\f(5π,6)(舍去)，

(因为ab即A＝\f(π,3)B所以B＝\f(π,6))

所以C＝π－A－B＝π－\f(π,3)－\f(π,6)＝\f(π,2).

一解!

变式1:在△中，假设b＝3，a＝\r(3)，A＝\f(π,3)，

则C的大小为．

答案:1

无解!

变式2:

在中，，

解.

答案：

或

两解!

变式3:求边？

留意：

知道两边和其中一边的对角〔如〕解三角形

可用正弦定理先求出角也可用余弦定理先求出边

再求解。两种方法均须留意解的个数！

可能有一解、二解、无解，应留意区分．

练习:(补充)

〔2021山东文17〕函数

处取最小值。

〔I〕求的值；

〔Ⅱ〕在中，分别是角A，B，C的对边，求角C。

【解析】

〔Ⅰ〕f