高中数学人教A版选择性必修第一册第二章 直线和圆的方程2.2.1直线的点斜式方程 (1).docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高二

学期

秋季

课题

2.2.1直线的点斜式方程

教学目标

1.推导并掌握直线的点斜式方程、斜截式方程，明确方程的适用范围.

2.结合直线方程的探究过程，知道建立直线方程的意义和价值，体会解析几何的基本思想.

教学重难点

教学重点：直线的点斜式方程.

教学难点：直线与点斜式方程的关系.

教学过程

复习引入

在前面的学习中，我们知道确定直线的位置的几何要素是一点和方向，也探究了几何要素的代数表示，

这节课我们来探究直线的代数表示即直线的方程.

创设情境

探究新知

问题：什么是直线的方程？

建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，建立直线上任意一点的横坐标x与纵坐标y所满足的关系式.

意图：明确直线的方程的含义.

探究1：直线l经过点，且倾斜角为，如何表示直线l上任一点中与之间的关系？

师生活动：学生在独立思考的基础上进行交流，通过斜率公式构建关系式.

，教师进一步引导学生从“数”和“形”两个角度分析任一点在直线上需满足的关系.

分析：

几何角度（形）：经过且倾斜角为的直线唯一确定，任一点是否在直线上，完全由和倾斜角确定，即直线是由满足的倾斜角为的点组成；

代数角度（数）：直线上点的坐标与点的坐标及之间有确定的关系，即.

解：是直线上任意一点,

因为所以.

意图：创设特殊问题情境，通过对该直线上任一点坐标与确定该直线的点和倾斜角（斜率）之间关系的探究，分别从几何角度（形）、代数角度（数）认识直线,从而建立直线上任一点中与之间的关系，为后面研究一般情形下的直线的点斜式方程做准备.

思考：直线上所有点的坐标都满足关系式吗？怎样变形可以得到直线上所有点满足的关系式？

点不满足关系式，

由变形得.

意图：通过此问题的思考与分析，让学生明确该直线上每一点的坐标都满足方程

.

探究2：一般地，求经过点，且斜率为的直线l的方程.

师生活动：在探究1的基础上，学生易得直线上任一点的坐标满足的关系式.

如图，直线l经过点，且斜率为k，设是直线l上不同于点P的任意一点，因为直线l斜率为k，由斜率公式得，整理得.

分式无法表示点；

而变形后方程可表示直线l上的所有点，

且可知直线上每个点的坐标都满足方程.

意图：让学生经历从特殊到一般的研究过程,会利用直线上任意点的几何特征表示直线的代数形式，突出利用解析思想探究直线方程的过程.

思考：坐标满足关系式的每一个点是否都在直线l上？

师生活动：学生在教师的引导下，推导坐标满足关系式的每一个点都在直线l上.

解：若点的坐标满足关系式，则；

当时，，这时点与重合，显然有点都在直线l上；

当时，有，这表明过点，的直线的斜率为.

因为直线的斜率都为，且都过点，所以它们重合，点在直线l上.

意图：通过这个问题的思考与分析，让学生明确：直线l上的任意一点的坐标一定满足方程；坐标满足这个方程的每个点都在直线l上，即建立直线上点的集合与方程的解集之间的一一对应关系.

直线的点斜式方程

我们将称为过点，斜率为k的直线l的点斜式方程，简称点斜式（pointslopeform）；

意图：明确直线的点斜式方程的定义.

例题解析

反思完善

例1：直线l经过点,且倾斜角，求直线l的点斜式方程，并画出直线l.

师生活动：本题学生独立完成,并相互交流，教师引导学生画直线时需找出直线上另一个点，而不是直接画点和倾斜角.

解：直线l经过点,且倾斜角，则斜率，代入点斜式方程得：.

画直线时只需找出满足直线方程的直线上的另一点，例如，取，代入直线的方程，得到，则得到的点，则过，两点的直线即为所求，如图所示.

意图：应用直线的点斜式方程解决问题,加深对点斜式方程的认识.

变式：（1）直线l经过点，且倾斜角为时，直线l的方程是什么？

解：如图，此时，这时直线l与x轴平行或重合，

1234-1-2

1

2

3

4

-1

-2

变式：（2）直线l经过点，且倾斜角为时，直线l的方程是什么？

1234-1-2解：如图，此时由于无意义，即直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示.又因为这时直线l上的每一点的横坐标都等于

1

2

3

4

-1

-2

结论（1）：直线l经过点，且倾斜角为时，直线l的方程是;

（2）：直线l经过点，且倾斜角为时，直线l的方程是.

归纳：直线的点斜式方程的适用条件是直线的斜率存在.

意图:通过变式的直线方程的分析，明确直线的点斜式方程的适用条件.

探究新知

探究4：如何表示过点，斜率为的直线方程？

师生活动：通过特殊化定点，学生易得点斜式方程的特殊形式：，即直线的斜截式方程，简称斜截式，明确和的几何意义，提醒学生截距不是距离，斜截式方程是点斜式方程的特例，二者都只能表示斜率存在的直线.

解：把点代入直线的点斜式方程,

得到，

化简后得