数学学案：学习导航一次函数和二次函数.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2.2一次函数和二次函数

自主整理

1。一次函数

(1）定义:

函数y=kx+b（k≠0)叫做一次函数，又叫线性函数；它的定义域为R，值域为R.

(2)性质：

①函数的改变量y2—y1与自变量的改变量x2-x1的比值等于常数k；k的大小表示直线与x轴的倾斜程度;

②当k0时，一次函数为增函数，当k0时，一次函数为减函数；

③当b=0时，一次函数为正比例函数，是奇函数；当b≠0时,一次函数既不是奇函数也不是偶函数;

④直线y=kx+b（k≠0）与x轴的交点为（，0）,与y轴的交点为(0，b)。

2.二次函数

(1)定义:

函数y=ax2+bx+c(a≠0）叫做二次函数，它的定义域为R。

(2)性质:

①函数的图象是一条抛物线,它的顶点坐标为(,)，它的对称轴为x=.

②当a〉0时,抛物线开口向上，函数在x=处取得最小值,在区间（—∞,]上是减函数，在区间［，+∞）上是增函数。

③当a0时，抛物线开口向下，函数在x=处取得最大值，在区间[，+∞）上是减函数，在区间(-∞，］上是增函数.

④当二次函数图象的对称轴与y轴重合即b=0时二次函数为偶函数，否则既不是奇函数也不是偶函数.

⑤在y=ax2(a≠0)中,若a〉0，a越大，抛物线的开口越小，a越小，抛物线的开口越大;反之,若a0,a越大，抛物线的开口越大，a越小，抛物线的开口越小.总之，y=ax2（a≠0)中，若｜a｜越大，抛物线的开口越小，|a|越小,抛物线的开口越大.

（3）三种形式:

①一般式：f（x）=ax2+bx+c(a≠0),其中a是开口方向与大小，c是y轴上的截距,而是对称轴.

②顶点式（配方式)：f(x)=a（x—h）2+k(a≠0）,

其中(h，k）是抛物线的顶点坐标.h=,k=.

③两根式(因式分解）：f（x)=a（x-x1）(x-x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物线与x轴两个交点的横坐标.

3。待定系数法

如果知道一个函数的一般形式,可先把所求函数写为一般形式,其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法称为待定系数法。

高手笔记

1。常数函数是较为特殊的函数，原因在于在函数解析式y=b中没有出现自变量x。其实常数函数就是一个多对一的映射.注意:当a=0时,函数y=ax2=0是一个常数函数,其图象即为x轴.

2。式子x=a（a是一固定常数）虽然含有x，但不能称其为函数，原因在于一个x对应无穷多个y，不符合函数的定义,应将其与y=b区别开来。

3.二次函数是重要的基础函数,必须作为重点内容来掌握。应从解析式、定义域、值域、图象、单调性、奇偶性几个方面的内容进行把握.

4。解决二次函数的问题一定要牢牢树立数形结合的思想，通过对函数图象的分析寻找解决问题的思路和分类讨论的依据。

名师解惑

1。如何认识与理解常数函数？

剖析：要全面认识一个函数,主要从解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性等五个方面来认识,对于常数函数：

解析式：当k=0时,y=kx+b就变成了y=b，这就是常数函数的解析式,其中b是某一固定常数。这个解析式的特点在于没有出现自变量x,这也是许多同学对常数函数感到难于理解的原因.

定义域：自变量x可以取任意实数.解析式中没有出现x，说明解析式对x没有要求,可以取任意实数。

值域：常数函数的值域为｛b}。常数函数只有一个函数值b,就是说不论自变量怎么取值，都对应同一个函数值b.

图象:因为不论自变量x取什么值都对应一个函数值b，所以函数图象是平行于x轴的水平直线(特殊情况是x轴）。

单调性:因为函数值是固定的常数b，没有增减变化,函数图象也是一条水平的直线，没有起伏变化，所以常数函数在定义域上没有单调性.

奇偶性:定义域为R，并且f(—x)=f(x）=b,所以一定是偶函数.如果b=0则既是奇函数又是偶函数。

2.如何由函数y=x2的图象变化得到函数y=a·x2(a≠0）的图象？又如何由函数y=ax2(a≠0）的图象变化得到y=a（x+h)2+k（a≠0)的图象？再如何由函数y=ax2（a≠0）的图象得到函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象？

剖析：（1）二次函数y=a·x2（a≠0)的图象可由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到，而横坐标保持不变。

（2）二次函数y=a(x+h）2+k（a≠0)可由y=ax2(a≠0）的图象向左（或向右)平移｜h｜个单位，再向上（或下)平移|k|个单位得到.

（3）要得到二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图象，先将其化为y=a（x+h）2+k(a≠0)的形式,再通过y=ax2（a≠0）的图象上下左右平移得到.

3.二次函数的性质常见有哪些综合应用？

剖析:（1）关