人教版初中数学九年级下册-27.2.1 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似-经典通用.docVIP

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27.2.1相似三角形的判定

第4课时两角分别相等的两个三角形相似

1．理解“两角分别相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)

2．会运用“两角分别相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)

一、情境导入

与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比eq\f(AB,A′B′)，eq\f(AC,A′C′)，eq\f(BC,B′C′)相等吗？这样的两个三角形相似吗？和同学们交流．

二、合作探究

探究点：两角分别相等的两个三角形相似

【类型一】利用判定定理证明两个三角形相似

如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，且∠ADE＝60°.

(1)求证：△ABD∽△DCE；

(2)若BD＝3，CE＝2，求△ABC的边长．

解析：(1)由题有∠B＝∠C＝60°，利用三角形外角的知识得出∠BAD＝∠CDE，即可证明△ABD∽△DCE；(2)根据△ABD∽△DCE，列出比例式，即可求出△ABC的边长．

(1)证明：在△ABD中，∠ADC＝∠B＋∠BAD，又∠ADC＝∠ADE＋∠EDC，而∠B＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝∠CDE.在△ABD和△DCE中，∠BAD＝∠CDE，∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE；

(2)解：设AB＝x，则DC＝x－3，由△ABD∽△DCE，∴eq\f(AB,DC)＝eq\f(BD,DE)，∴eq\f(x,x－3)＝eq\f(3,2)，∴x＝9.即等边△ABC的边长为9.

方法总结：本题主要是利用“两角分别相等的两个三角形相似”，解答此题的关键是利用三角形的外角的知识得出角相等．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

【类型二】添加条件证明三角形相似

如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为____________．

解析：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED.同理可得∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)可以得出△ABC∽△AED.故答案为∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB).

方法总结：熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题关键．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型三】相似三角形与圆的综合应用

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于点D，交AE于点G，弦CE交AB于点F，求证：AC2＝AG·AE.

解析：延长CG，交⊙O于点M，连接AM，根据圆周角定理，可证明∠ACG＝∠E，根据相似三角形的判定定理，可证明△CAG∽△EAC，根据相似三角形对应边成比例，可得出结论．

证明：延长CG，交⊙O于点M，连接AM，∵AB⊥CM，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(AM,\s\up8(︵))，∴∠ACG＝∠E，又∵∠CAG＝∠EAC，∴△CAG∽△EAC，∴eq\f(AC,AE)＝eq\f(AG,AC)，∴AC2＝AG·AE.

方法总结：相似三角形与圆的知识综合时，往往要用到圆的一些性质寻找角的等量关系证明三角形相似．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

【类型四】相似三角形与四边形知识的综合

如图，在?ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.若AB＝8，BE＝6，AD＝7，求BF的长．

解析：可通过证明∠BAF＝∠AED，∠AFB＝∠D，证得△ABF∽△EAD，可得出关于AB，AE，AD，BF的比例关系．已知AD，AB的长，只需求出AE的长即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的长，进而求出BF的长．

解：在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.∵BE⊥CD，AB∥CD，∴BE⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴AE＝eq\r(AB2＋BE2)＝eq\r(82＋62)＝10.∵△ABF∽△EAD，∴eq\f(BF,AD)＝eq\f(AB,AE)，∴eq\f(BF,7)＝eq\f(8,10)