数学学案：用平面向量坐标表示向量共线条件.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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2.2。3用平面向量坐标表示向量共线条件

基础知识

基本能力

1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点）

2．掌握两直线平行与两向量共线的判定方法．（易错点）

1．会用向量的坐标形式来判断向量平行、证明三点共线．（易错点）

2．会写过定点与已知向量平行的直线方程．（重点)

3．要理解零向量可与任一向量平行的规定，并在解决有关共线问题时，不要忽视它的存在．（难点)

两个向量平行的坐标表示

设向量a＝（a1，a2），向量b＝（b1,b2),则a∥b?a1b2－a2b1＝0；

如果向量b不平行于坐标轴，即b1≠0且b2≠0，则a∥b?eq\f（a1，b1）＝eq\f(a2，b2),即两个向量平行的条件是：相应坐标成比例．

如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们是同向还是反向吗？

答：判断两个共线向量的方向是同向还是反向,常用的方法是:

当两个向量的对应坐标同号或同为零时,同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．

例如,向量(1,2)与（－1，－2）反向；向量（1，0）与（3，0）同向．向量(－1，2）与(－3,6)同向；向量(－1，0)与（3,0)反向．

【自主测试1】与向量a＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,5），\f（2,5）））共线且方向相同的向量b的坐标是（)

A．(－1,2)B．（4,8)

C．(eq\r（2)，eq\r（3))D．(－4，－8）

答案:B

【自主测试2】已知A（1，2)，B(2,3），C（5，t)三点共线，则t的值为（）

A．0B．5C．6D．10

解析：eq\o（AB，\s\up6(→)）＝(1,1)，eq\o（BC,\s\up6（→）)＝（3，t－3),

∵A，B，C三点共线，

∴1×（t－3）－1×3＝0，∴t＝6。

答案：C

解读向量平行的条件及用途

剖析：向量平行的条件有三种表示形式：

(1)a∥b（b≠0）?a＝λb;

(2)a∥b?a1b2－a2b1＝0,a＝(a1，a2)，b＝（b1，b2)；

(3)a∥b?eq\f（a1，b1)＝eq\f（a2，b2),a＝（a1，a2），b＝（b1,b2),且b1≠0，b2≠0.

另外应用向量平行（共线)的条件,可以证明向量共线、三点共线等问题．

题型一平面向量共线问题

【例题1】已知向量a＝(1,2），b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，

(1）若u∥v，求实数x的值；

(2)若a，v不共线，求实数x的取值范围．

分析:对于第（1)问，利用共线向量的坐标表示出关于x的方程即可；对于第（2)问，可先从反面入手．

解:（1)因为a＝（1,2）,b＝(x，6）,u＝a＋2b，v＝2a－b,

所以u＝（1，2）＋2（x,6)＝（2x＋1,14),v＝2(1，2）－(x，6）＝（2－x,－2）．

又因为u∥v，

所以－2(2x＋1）－14(2－x)＝0，

即10x＝30,解得x＝3。

故实数x的值为3。

(2)若a，v共线，则2（2－x)＝－2,解得x＝3，所以要使a,v不共线，{x|x∈R，且x≠3｝即为所求．

反思利用向量共线的条件求值的问题的处理思路：

对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a＝λb（b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．

〖互动探究〗已知向量a＝(x,3)，b＝（－3,x），是否存在实数x，m,使(ma－b)∥（a＋b)？若存在，求实数x，m的值;若不存在，请说明理由．

解:假设存在实数x，m满足题意，得ma－b＝(mx＋3，3m－x)，a＋b＝（x－3，3＋x），由（ma－b)∥(a＋b),得（mx＋3)（x＋3）－(3m－x）(x－3)＝0,化简得(m＋1）·（x2＋9)＝0,故m＝－1,x∈R，即存在m＝－1，x∈R使（ma－b)∥（a＋b).

题型二三点共线问题

【例题2】如果向量eq\o(AB，\s\up6（→)）＝i－2j，eq\o(BC，\s\up6(→))＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值,使A,B，C三点共线．

分析：解答本题可直接利用共线条件来求解，也可根据单位向量i，j，利用向量的直角坐标进行运算．

解：解法一:∵A，B，C三点共线，即eq\o（AB,\s\up6（→）)，eq\o（BC，\s\up6（→）)共线，

∴存在实数λ，使得eq\o（AB,\s\up6(→））＝λeq\o(BC，\s\up6（→))，

即i－2j＝λ（i＋mj）．