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2010-2023历年江苏省苏州市高三暑假自主学习测试理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共25题)

1.如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线排，在路南侧沿直线排，现要在矩形区域内沿直线将与接通．已知，，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的部分的排管费用为每米2万元，设与所成的小于的角为．

（Ⅰ）求矩形区域内的排管费用关于的函数关系式；

（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角．

2.已知矩阵，，求矩阵

3.已知是直线上一动点，是圆的两条切线，切点分别为．若四边形的最小面积为2，则=????????．

4.已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．试求曲线和的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．

5.已知集合，，则????????.

6.样本数据18，16，15，16，20的方差＝?????????.

7.如图，在直四棱柱中，点分别在上，且，，点到的距离之比为，则三棱锥和的体积比????????.

8.设为实数，我们称为有序实数对．类似地，设为集合，我们称为有序三元组．如果集合满足，且，则我们称有序三元组为最小相交（表示集合中的元素的个数）．

（Ⅰ）请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；

（Ⅱ）由集合的子集构成的所有有序三元组中，令为最小相交的有序三元组的个数，求的值．

9.已知向量，，，其中为的内角．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，且，求的长．

10.设，向量且，则=??????????．

11.设复数满足(为虚数单位），则=??????.．

12.已知双曲线的离心率为2，则的值为______．

13.已知函数和的图象的对称轴完全相同，则的值是?????．

14.已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为______.

15.已知函数,其中是取自集合的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为_____．

16.已知椭圆的长轴两端点分别为，是椭圆上的动点，以为一边在轴下方作矩形，使，交于点，交于点．

（Ⅰ）如图（1），若，且为椭圆上顶点时，的面积为12，点到直线的距离为，求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图（2），若，试证明：成等比数列．

17.对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．

（Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；

（Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．

18.已知函数，则满足的的取值范围是______．

19.设实数满足，求证：．

20.已知：如图，点在上，，平分，交于点．求证：为等腰直角三角形．

21.已知实数满足不等式组，则的最大值是?????．

22.如图，四棱锥的底面为矩形，，，分别是的中点，．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面平面．

23.设数列的前项和为，对任意满足，且．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

24.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为______.

25.若，则的最小值为???????．

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）最小费用为万元，相应的角为.试题分析：（Ⅰ）把，，的长度分别用表示，分别求出费用相加即可；（Ⅱ）对（Ⅰ）中函数，用导数为工具，判断其单调区间，求出最小值.

试题解析：（Ⅰ）如图，过作，垂足为，由题意得，

故有，，．???????4分

所以???5分

．??????8分

（Ⅱ）设(其中)，

则．????????????10分

令得，即，得．?????????????11分

列表

+

0

-

单调递增

极大值

单调递减

所以当时有，此时有．???????15分

答：排管的最小费用为万元，相应的角．????????????16分

考点：函数的应用、导数的应用.

2.参考答案：试题分析：先用待定系数法求出，再求出.

试题解析：设矩阵的逆矩阵为，则，????????????1分

即，????????????????????????????????????????????????4分

故，从而的逆矩阵为．?????????????7分

所以．???????????????????????????????10分

考点：矩阵的乘法、逆矩阵.

3.参考答案：2试题分析：圆的圆心为，半径为1，因为四边形的面积，而最小值为2，所以的最小值为，即圆心到直线距离，解得.

考点：圆的切线的性质、点到直线的距离公式，函数的应用.

4.参考答案：内含试题分析：先化为直角坐标方程，再由圆心距和两圆半径关系判定.

试题解析：由得曲线的直角坐标方程为．???????????????2分

由得曲线的直角坐标方程为．???????????????5分

曲线表示以为圆心，5为半径的圆；曲线表示以为圆心，2为半