高等数学课件：定积分在几何上的应用(2).ppt

类似地立体体积曲边梯形绕x轴旋转而成如绕y轴旋转而成的立体体积四、平行截面面积已知的立体的体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续.取x为积分变量,切片法计算该平面截圆柱体所得立体的体积.x交成?角，一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面例1作垂直于x轴的截面.取x为积分变量,解:截面面积A(x)问题:还有别的方法吗？xy.解法2计算该平面截圆柱体所得立体的体积.交成?角，一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面取y为积分变量,作垂直于y轴的截面.截面面积高为h的正劈锥体的体积.为顶、求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段例2为等腰三角形.取x为积分变量,解:垂直于x轴的截面如图建立直角坐标系,截面面积则底圆方程为目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学(L.P184)*运行时,点击按钮“心形线”,可演示心形线的生成,并自动返回.**运行时,点击按钮“注”,可显示最后一个积分的计算过程,显示完毕自动返回.**典型P282例1.24*(L.P198例14)*定积分在几何学上的应用（2）一、元素法二、平面图形的面积三、旋转体的体积四、平面曲线的弧长2.利用定积分求某个量U,1.曲边梯形面积的求法:分割近似求和取极限(1)选取积分变量,如选取x,并确定其变化区间在[a,b]上选取任一小区间(2)所求部分量(3)可将步骤简化为:一、元素法记作量U的元素;二、平面图形的面积1.直角坐标系下平面图形的面积(1)设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,若曲线则解:例1与直线及x轴所围成的平面图形的面积A.(2)求由曲线与直线则所围平面图形的面积A.取x为积分变量,例2计算由两条抛物线在第一象限所围平面图形的面积.解:得两抛物线交点解方程组取x为积分变量例2计算由两条抛物线在第一象限所围平面图形的面积.解:得两抛物线交点解方程组取y为积分变量例3计算抛物线与直线的面积.解:得交点所围图形取y作积分变量,则解方程组例4求椭圆解:所围图形的面积.利用椭圆的参数方程应用定积分换元法当a=b时得圆面积公式由对称性,2.极坐标系下平面图形的面积(1)极坐标系极轴极径极点极角(2)极坐标系下与直角坐标系下点的坐标之间的关系：(3)极坐标系下平面图形的面积求由曲线及围成的取θ为积分变量,任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为设曲边扇形的面积.对应?从0到2?例6计算阿基米德螺线解:的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积.例7计算心形线围成图形的面积.解:(利用对称性)心形线由一个平面图形绕这平面内三、旋转体的体积1.旋转体:一条直线旋转一周而成的立体.如圆柱、圆锥、球体等.的曲边梯形曲边梯形坐标轴(1)由连续曲线直线及x轴所围成绕x轴旋转一周而成的立体的体积.取x为积分变量,的曲边梯形(2)由连续曲线直线及y轴所围成而成的立体的体积.取y为积分变量,绕y轴旋转一周例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线,过O与P的直线方程为:旋转成一个底半径为r,直线x=h及x轴轴围成一个直角三角形,它绕x轴高为h的圆锥体,求这个圆锥体的体积.取x为积分变量,例2计算由椭圆所围图形分别绕x轴,y轴旋转而成的椭球体的体积.则机动目录上页下页返回结束解:(1)绕x轴旋转,取x为积分变量例2计算由椭圆所围图形分别绕x轴,y轴旋转而成的椭球体的体积.则(2)绕y轴旋转,取y为积分变量a=b时,得半径为a的球体的体积例3计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x