高等数学课件：傅里叶级数.ppt

目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学运行时,点击相片,或按钮“简介”可显示关于傅里叶的简介,并自动返回.由此定理可以看出,函数展成傅立叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.这正是傅立叶级数具有广泛应用的重要原因.运行时,点击相片,或按钮“简介”,可显示狄利克雷的简介,并自动返回.傅里叶级数11.6.1三角函数系及三角级数11.6.2f(x)的傅里叶级数11.6.3正弦级数和余弦级数11.6.4一般周期函数的傅里叶级数三角函数系即正交,上的积分等于0.是指其中任意两个不同的函数之积在11.6.1三角函数系及三角级数上的积分不等于0.且有但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在注同理可证:简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数?为角频率,为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.11.6.2f(x)的傅里叶级数设f(x)是周期为2?的周期函数,设右端级数可逐项积分,①对①两边在上积分,且能展开成即三角级数.则得(利用正交性)类似地,用sinkx乘①式两边,再逐项积分可得叶系数为系数的三角级数①的傅里叶系数;由公式②确定的①②以的傅里叶的傅里叶级数.称为函数？称为定理11.6.1(收敛定理,展开定理)设f(x)是周期为2?的周期函数,并满足狄利克雷(Dirichlet)条件:(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;(2)在一个周期内只有有限个极值点.则f(x)的傅里叶级数收敛,且有x为间断点其中(证明略)为f(x)的傅里叶系数.x为连续点注意:函数展成傅里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.例1设f(x)是周期为2?的周期函数,上的表达式为将f(x)展开成傅里叶级数.解在级数收敛于级数收敛于f(x).时,时,周期延拓傅里叶展开上的傅里叶级数定义在[–?,?]上的函数f(x)的傅氏级数展开法其它例2将函数则解展开成傅里叶级数.为周期的函数F(x),将f(x)延拓成以2?由x=0时,注f(0)=0,得11.6.3正弦级数和余弦级数1周期为2?的偶函数f(x),它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为对周期为2?的奇函数f(x),其傅里叶级数为周期为2?的奇、偶函数的傅里叶级数其傅里叶级数为余弦级数,例3设的表达式为f(x)?x,将f(x)展成傅里叶级数.f(x)是周期为2?的周期函数,在上解周期为2?的奇函数,因此若不计n＝1根据收敛定理可得f(x)的正弦级数:级数的部分和逼近f(x)的情况见右图.n＝2n＝3n＝4n＝52定义在[0,?]上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓F(x)f(x)在[0,?]上展开成周期延拓F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数f(x)在[0,?]上展开成例4将函数分别展开成正弦级数和余弦级数.解去掉端点,将f(x)作奇延拓.先求正弦级数.注在端点x=0,?,与函数因此f(x)=x+1的函数值不同.级数的和为0,再求余弦级数.将则有作偶延拓,注即令x=0可得狄利克雷(Dirichlet)条件:(1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点(2)在一个周期内只有有限个极值点设f(x)是周期为2l的周期函数,则它的傅里叶级数展开式为其中定理11.6.211.6.4一般周期函数的傅里叶级数且满足收敛定理条件,连续点处收敛于f(x),间断点处收敛于注其中如果f(x)为偶函数,其中如果f(x)为奇函数,则则连续点处收敛于f(x),间断点处收敛于例5在上的表达式为:解将展开成傅里叶级数.是周期为的周期函数,目录上页下页返回