高等数学课件：概率统计.ppt

f(x)=令B=｛等待时间为5～10分钟｝，C=｛等待时间不少于5分钟｝，A=｛等待时间为10～15分钟｝，则P(B)=P(5≤X≤10)=以上可知：指数分布在某个点后的分布与整体一致，称之为指数分布的遗传性．3．正态分布正态分布是概率分布中重要的分布之一，在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似服从正态分布，如测量误差，农作物的亩产量，产品的长度、宽度、高度、质量指标，职工的收入，全省高考学生的考试成绩等均服从正态分布．另外，正态分布可以导出部分分布，而有些分布在一定条件下又可用正态分布来近似表示，并且标准正态分布的概率计算有详尽的分布表，因此，正态分布在概率论和数理统计的理论研究和实际应用中起着特别重要的作用．(1)标准正态分布定义11若连续型随机变量X的概率密度为φ(x)=则称X服从标准正态分布，记为X～N(0,1)．标准正态分布是一种重要的分布，所以，其密度函数、分布函数常分别用专门的符号φ(x),Φ(x)来表示．由高斯积分，易验证标准正态分布的概率密度φ(x)=满足概率密度的两个基本性质，并且它还具有下列特性：①φ(x)在(–∞，+∞)上处处连续；②φ(x)为偶函数，其图象关于y轴对称；③当x=0时，φ(x)取得最大值φ(0)=④在x=±1时，曲线有拐点；⑤x轴为φ(x)的渐近线．通过以上性质，可画出φ(x)的图象，称为标准正态分布曲线，如图9-10所示．图9-10图9-11由密度曲线的几何意义知，图中对应部分的面积即为概率，因而由图象可知，标准正态分布属于中间概率大，两头概率小的分布．若随机变量X～N(0,1)，则由分布函数定义得标准正态分布的分布函数为Φ(x)=显然，Φ(x)不仅具有分布函数的全部性质，而且还在(–∞,+∞)上处处可导，并且单调递增．其图象见图9-11．Φ(x)不是初等函数，若要求其函数值是非常困难的，因此，人们编制了Φ(x)的函数值表，称为标准正态分布表，附表中x的取值为x≥0．当x＜0，则可根据Φ(x)的对称性，采用下列公式求得：Φ(–x)=1–Φ(x)．(2)标准正态分布的概率计算若X～N(0,1)，则对任意实数a,b(a＜b)有P(a＜X≤b)=Φ(b)–Φ(a)．例16已知X～N(0,1)，查表计算下列事件的概率：P(X＜2),P(X≥–2),P(|X|＜1),P(|X|＜3)，P(|X|＞2.1),P(–1.5＜X≤2.2)．解P(X＜2)=Φ(2)–Φ(–∞)=0.9772，P(X≥–2)=Φ(+∞)–Φ(–2)=1–(1–Φ(2))=0.9772，P(|X|＜1)=P(–1＜X＜1)=Φ(1)–Φ(–1)=2Φ(1)–1=2×0.8413–1=0.6826，P(|X|＜3)=P(–3＜X＜3)=Φ(3)–Φ(–3)=2Φ(3)–1=2×0.9987–1=0.9974，P(|X|＞2.1)=P(X＞2.1)+P(X＜–2.1)=Φ(+∞)–Φ(2.1)+Φ(–2.1)=1–Φ(2.1)+1–Φ(2.1)=2(1–Φ(2.1))=2(1–0.9821)=0.0358，P(–1.5＜X≤2.2)=Φ(2.2)–Φ(–1.5)=Φ(2.2)+Φ(1.5)–1=0.9193．例17已知X～N(0,1)，求下列各式的x．(1)P(X≤x)=0.9900；(2)P(X＜x)=0.0250；(3)P(X＞x)=0.2297．解(1)由于P(X≤x)=Φ(x)=0.9900，查表得x=2.33．(2)因P(X＜x)=Φ(x)=0.0250＜0.5，所以x＜0．由Φ(–x)=1–Φ(x)=1–0.0250=0.9750，查表得–x=1.96．所以x=–1.96．(3)因P(X＞x)=1–Φ(x)=0.2297，所以Φ(x)=0.7703，查表得x=0.74．(3)一般正态分布定义12连续型随机变量X的概率密度为f(x)=其中μ,σ＞0为参数，则称X服从参数为μ,σ2的一般正态分布，记为X～N(μ,σ2)．显然，当取μ=0，σ2=1时，就得到标准正态分布．利用换元积分法及高斯积分易验证一般正态分布的概率密度满足两个基本性质，并且其还具有下列性质：①f(x)在(–∞,+