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《角的平分线的性质（第二课时）》教案

教学目标

教学目标：运用角平分线的性质的解决问题，进一步培养学生逻辑推理的能力.

教学重点：发现并正确使用角平分线的性质进行推理与书写.

教学难点：角平分线的性质定理的应用．

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

1-2分钟

4-5分钟

4-5分钟

3-4分钟

5-6分钟

5-6分钟

2-3分钟

定理复习

例题与练习

小结与作业

定理复习

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

使用定理时的书写：

∵∠AOP＝∠BOP（OP平分∠AOB），PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，

∴PD＝PE．

例1．如图，△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．

分析：由角平分线的性质可求得DE＝DF，BE＝FC来自于证明Rt△BDE≌Rt△CDF．

证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF.

在Rt△BDE和Rt△CDF中,

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

∴EB＝FC．

点评：

1．本题中角的平分线的性质的题设非常明确，应第一时间想到利用其得到DE＝DF．

2．从结论出发，结合已知和已证的条件，可知需要证明△BDE≌△CDF．

3．可以认为是两个板块结合，注意每部分书写，有了角的平分线的性质不要再多证一次全等．

例2．如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．

求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

分析：已知可推？提到距离，想到把它作出来；作PD，PE，PF分别垂直于三边AB，BC，CA，D，E，F为垂足：根据角的平分线性质可得PD＝PE，PF＝PE，得到PD＝PE＝PF．

注意有不止一组基本图可以用到角的平分线的性质．

证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F．

∵BM为△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD＝PE．（角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）

同理PE=PF．

∴PD＝PE＝PF．

即点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

点评：本题的关键是考虑复原基本图，作出对应的辅助线．

练习:

如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．

证明：过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为F，G，H．

∵BD为∠ABC外角的平分线，点P在BD上，

∴PF＝PG．（角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）

同理PG＝PH．

∴PF＝PG＝PH．

即点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．

例3如图，已知AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC，交AC的延长线于点F．求证：DE＝DF．

分析：“两组等，待全等”，“有双垂，补角分”．如图，连接AD，先证△ABD≌△ACD（SSS），则对应角∠BAD＝∠CAD．然后利用角平分线的性质证得结论．

证明：如图，连接AD．

在△ABD与△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS）．

∴∠BAD＝∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF．

点评：本题的关键是既可以从复原基本图考虑，也可以从作公共部分来入手，作出对应的辅助线．

练习．如图，OP平分∠AOB，点D，E分别在OA，OB上，且PD＝PE，图中与∠PDA相等的角是∠PEO，并证明你的结论．

分析：如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．构造全等三角形Rt△PDF≌Rt△PEH（HL），则该全等三角形的对应角相等：∠PDA＝∠PEO．

解：∠PDA＝∠PEO．理由如下：

如图，过点P作PF⊥OA于点A，PH⊥OB于点H．

∵OP平分∠AOB，

∴PF＝PH．

在Rt△PDF与Rt△PEH中，

∴Rt△PDF≌Rt△PEH（HL）．

∴∠PDF＝∠PEH.

∴∠PDA＝∠PEO．

小结

在我们运用角的平分线的性质处理问题时:

1．熟悉定理及其对应的基本图；

2．与角的平分线的性质有关的常见的辅助线是：补全基本图

如，过角平分线上的点向角两边作垂线；

3．特别注意，可以使用角的平分线的性质定理时，不要再使用全等证明一遍这个结论．

课后作业：

1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD＝AB：AC．

分析：根据AD平分∠BAC，作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线性质可知DE＝DF，△ABD与△ACD等高，面积比即为底边的比．

证明：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E，F．

∵AD平分∠BAC，

∴DE＝DF．

∴S△ABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝AB