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《角的平分线的性质（第一课时）》教案

教学目标

教学目标：探究作角平分线的方法，掌握角平分线的尺规作图方法并加以证明；探究角平分线的性质并加以证明．

教学重点：角的平分线的作法，角平分线的性质的证明．

教学难点：角平分线的性质的探究．

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

8-10分钟

10分钟

3-4分钟

1-2分钟

角平分线的作图

角平分线的性质及证明

定理的运用

小结与作业

问题1画一个角（如图），怎样得到这个角的平分线？

1．学习与探究：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE（AC），AE（AC）就是∠DAB的平分线．你能说明它的道理吗？

已知：AB=AD，BC=DC．

求证：AE平分∠BAD．

证明：在△ABC与△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SSS）．

∴∠BAC＝∠DAC．

即AE平分∠BAD．

经过上面的学习与探究，你能得到作已知角的平分线的方法吗？

2.利用尺规作角的平分线:

已知：∠AOB（如图）．

求作：∠AOB的平分线．

作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N；

（2）分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C；

（3）作射线OC．则射线OC即为所求（∠AOB的平分线）．

解说步骤后整体展示书写．我们是否能证明一下这个尺规作图的正确性呢？

已知：如图，OM＝ON，MC＝NC．

求证：射线OC平分∠AOB．

证明：连接CM，CN．

根据作图可以得到OM＝ON，MC＝NC．

则在△OCM和△OCN中，

∴△OCM≌△OCN（SSS）．

∴∠MOC＝∠NOC，即射线OC平分∠AOB．

点评：作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要切实掌握.

问题2利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？

1．操作

请同学们把一个角沿角平分线折叠，任意剪一刀后再展开，有什么发现？

点与直线的关系中，点到直线的距离是主题，于是我们明确研究为“OP上的点到OA，OB的距离PA，PB之间的关系”(如图中红色示例)．

2．猜想

线段PD与PE的大小关系，PD=PE．

3．证明

猜测：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

题设：一个点在一个角的平分线上．

结论：它到角的两边的距离相等．

已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E．

求证：PD＝PE．

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO＝∠PEO＝90°．

在△PDO和△PEO中，

∴△PDO≌△PEO（AAS）．

∴PD＝PE．

阅读教材第49页，一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即

1．明确命题中的已知和求证；

2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．

定理的运用

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

使用定理的书写过程：

∵∠AOC＝∠BOC（OP平分∠AOB），

PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE．

备用例题

例．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，求点P到边OA的距离．

分析：先标图，再想角的平分线的基本图，过P作PE⊥OA于点E，根据角平分线的性质得PE＝PD＝2．

解：过P作PE⊥OA于点E．

∵点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB于D，PE⊥OA于E，

∴PE＝PD．（角的平分线的性质）

∵PD＝2，

∴PE＝2．

∴点P到边OA的距离是2．

通过今天的学习，希望大家大家掌握：

1．角的平分线的尺规作图；

2．角的平分线的性质定理．

3．使用角的平分线的性质定理时，“角分双垂推相等”．

课后作业：

1.（教材51页习题12.3第1题）用三角尺可按下面方法画角平分线，在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？

解：OP平分∠AOB，

理由：∵OM⊥MP，ON⊥NP，

∴∠OMP＝∠ONP＝90°．

在Rt△OMP和Rt△ONP中，

∴Rt△OMP≌Rt△ONP．

∴∠MOP＝∠NOP．

∴OP平分∠AOB．

2．如图所示，在△ABC中：

（1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是（将序号按正确的顺序写在横线上）．

①分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；

②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于N点；

③画射线BP，