2025年中考数学总复习压轴解答题题组练(二).docxVIP

压轴题题组练(二)

(针对中考第26～27题)

(时间：30分钟满分：22分)

1．(10分)【问题情境】已知四边形ABCD是平行四边形，E是对角线BD上一点，F是?ABCD外一点，连接EC，CF和DF，且CE＝CF.

【初步尝试】(1)如图①，若∠BCD＝∠ECF，∠ADB＝∠CDF，求证：四边形ABCD是菱形；

【类比探究】(2)如图②，在(1)的条件下，连接FE并延长和AB交于点P，FP和CD交于点Q，求证：PE＝QF；

【拓展延伸】(3)如图③，连接AE和BF，M是BF的中点，连接EM和CM，若∠ADE＝∠CDE＝30°，DF＝CF，ED－ME＝2，AE＝5，求线段AB的长．

①②

③

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，

∵∠ADB＝∠CDF，∴∠CBD＝∠CDF，∵∠BCD＝∠ECF，∠BCE＝∠DCF，

又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(AAS)，∴BC＝CD，

∴四边形ABCD是菱形．

(2)证明：由(1)可知，四边形ABCD是菱形，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝∠FDC＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)∠ADC，AB∥CD，

∴∠BPE＝∠CQF，在CD上取一点T，使FT＝FD，连接FT，则

∠FTD＝∠FDT＝∠ABD，

∵BE＝FD，∴BE＝FT，∴△PBE≌△QTF(AAS)，∴PE＝QF.

（3）解：连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD＝∠CDE＝30°，

∴BC＝CD，∴?ABCD是菱形，∴AD＝CD，

∵∠ADE＝∠CDE＝30°，DE＝DE，

∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴AE＝CE，∴DF＝EC＝CF＝AE＝5，

∵∠ADC＝60°，AD＝DC，∴△ADC是等边三角形，

∴AC＝CD，∠ACD＝60°，

∴△ACE≌△DCF(SSS)，∴∠ACE＝∠DCF，

∴∠DCF＋∠ECD＝∠ACE＋∠ECD＝60°，

即∠ECF＝60°，延长FC到点N使CN＝CE，连接BN，

∵∠BCD＝∠ECN＝120°，∴∠BCN＝∠DCE，∵BC＝CD，

∴△BCN≌△DCE(SAS)，

∴BN＝DE，∠NBC＝∠EDC＝30°，

∵M是BF的中点，CF＝CN，∴CM∥BN，CM＝eq\f(1,2)BN，

∴∠BCM＝∠NBC＝30°，∴∠MCD＝∠BCD－∠BCM＝90°，∴MC⊥CD，

过点E作EH⊥CD于点H，则EH∥MC，易证四边形EMCH为矩形，

∴∠EMC＝90°，

设MC＝EH＝3a，则ED＝6a，∵ED－ME＝2，∴ME＝6a－2，

在Rt△EMC中，ME2＋MC2＝EC2，即(6a－2)2＋(3a)2＝52，

解得a1＝1，a2＝－eq\f(7,15)(舍去)，

∴MC＝EH＝3，ME＝CH＝4，∴ED＝6，∴DH＝eq\r(ED2－EH2)＝3eq\r(3)，

∴CD＝CH＋DH＝4＋3eq\r(3)，∴AB＝CD＝4＋3eq\r(3).

2．(12分)如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，其中A点坐标为(3，0)，B点坐标为(－1，0)，连接AC，BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)将△COB沿x轴水平向右平移，平移过程中当C点再次落在抛物线上的位置记作C′，求C′的坐标和tan∠C′AC的值；

(3)如图②，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒eq\r(2)个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为ts．在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？

①②

解：(1)抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.

(2)在y＝－x2＋2x＋3中，令x＝0，得y＝3，

∴C(0，3)，∴OC＝3，

∵A(3，0)，∴OA＝3，∴OA＝OC，

∵∠AOC＝90°，∴△OAC是等腰直角三角形，

∴AC＝eq\r(2)OA＝3eq\r(2)，

由题意得C′(2，3)，过点C′作C′D⊥CA于点D，连接CC′，

则S△ACC′＝eq\f(1,2)CC′·CO＝eq\f(1,2)AC·C′D，解得C′D＝eq\r(2)，

∴AD＝2eq\r(2)，则tan∠C′AC＝eq\f(1,2).

(3)过点P作PE⊥x轴，垂足为E，则△PAE是等腰直角三角形，

由题意可知AP＝eq\r(2)