数学课堂探究独立重复试验与二项分布.docxVIP

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课堂探究

探究一独立重复试验的概率

解决独立重复试验的概率求解问题时，首先要判断涉及的试验是否为独立重复试验，在确定是独立重复试验后再利用公式Pn（k)＝Ceq\o\al（k,n）pk(1－p)n－k（其中k＝0，1，2，…，n)来计算．

【典型例题1】某单位有6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0。5（每个员工上网与否相互独立)．求：

（1）至少3个人同时上网的概率；

(2）至少几个人同时上网的概率会小于0。3?

思路分析：根据题目可获取以下主要信息：(1)单位上网员工的人数；(2)员工上网的概率相同且相互独立．解答本题可先确定6个员工上网开展工作是相互独立试验，再根据题目的要求用n次独立重复试验的概率公式求解．

解：该单位6个员工每个人上网的概率都为0.5，则其对立事件每个人不上网的概率也是0。5.在6个人需上网的条件下，“r个人同时上网”这个事件（记为Ar)的概率为P（Ar）＝Ceq\o\al(r,6）×0。5r×(1－0.5）6－r＝eq\f(1,64)×Ceq\o\al(r,6)(r＝0，1,…，6）．

(1)(方法一)所求概率为P（A3∪A4∪A5∪A6）＝P（A3)＋P(A4）＋P（A5）＋P(A6)＝eq\f(1，64)×（Ceq\o\al(3，6)＋Ceq\o\al(4，6)＋Ceq\o\al（5,6)＋Ceq\o\al（6，6))＝eq\f（1，64）×（20＋15＋6＋1）＝eq\f（21，32).

(方法二)所求概率为1－P（A0∪A1∪A2）＝1－eq\f（1，64）×（Ceq\o\al（0，6)＋Ceq\o\al（1，6）＋Ceq\o\al（2，6))＝1－eq\f（1，64)×(1＋6＋15)＝eq\f(21，32).

（2）设“至少r个人同时上网”的事件为Br，

P（B6）＝P(A6)＝eq\f（1，64)＜0.3，

P（B5)＝P(A5∪A6）＝P(A5）＋P（A6)＝eq\f（1,64）×(Ceq\o\al（5,6）＋Ceq\o\al（6，6）)＝eq\f(7，64)＜0。3，

P（B4)＝P（A4∪A5∪A6)＝eq\f（1,64）×（Ceq\o\al（4,6)＋Ceq\o\al（5,6)＋Ceq\o\al（6，6））＝eq\f（11,32）＞0.3.所以至少5个人同时上网的概率小于0.3。

探究二二项分布的分布列

二项分布的解题步骤

(1）判断随机变量X是否服从二项分布．

看两点：①是否为n次独立重复试验；②随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数．

(2)建立二项分布模型．

（3）确定X的取值并求出相应的概率．

（4)写出分布列．

【典型例题2】为了防止受污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为eq\f(1,6），第二轮检测不合格的概率为eq\f(1，10)，两轮检测是否合格相互之间没有影响．

（1)求该产品不能销售的概率;

(2）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售,则每件产品亏损80元(即获利－80元）．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元,求X的分布列．

思路分析：要求随机变量的分布列，首先根据题目中的条件确定离散型随机变量的取值,然后计算各取值对应的概率．

解：(1）记“该产品不能销售”为事件A，则eq\x\to(A)表示“该产品能够销售”，

所以P(A）＝1－P(eq\x\to（A)）＝1－eq\b\lc\（\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(1－\f（1,6)))eq\b\lc\(\rc\）（eq\a\vs4\al\co1(1－\f(1，10)))＝eq\f(1,4）.

（2)由题意知，X的可能取值为－320,－200，－80,40，160，其概率分别为

P（X＝－320）＝eq\b\lc\(\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（\f（1,4))）4＝eq\f（1,256)，

P(X＝－200)＝Ceq\o\al(1，4）×eq\b\lc\（\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（\f（1，4)))3×eq\f（3,4)＝eq\f（3，64)，

P(X＝－80)＝Ceq\o\al（2，4）×eq\b\lc\（\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(\f（1，4））)2×eq\b\lc\（\rc\）（eq\a\vs4\al\co1（\f（3，4)）)2＝eq\f(27，128），

P（X＝40)＝Ceq