数学学案：学习导航有理指数幂及其运算.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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第三章基本初等函数(Ⅰ）

3。1指数与指数函数

3.1。1有理指数幂及其运算

1.整数指数

正整数指数幂的定义：

在初中我们学习了an=（n∈N*）.

其中，an叫做a的n次幂，a叫做幂的底数，n叫做幂的指数,并规定a1=a。

在上述定义中，n必须是整数，所以这样的幂叫做正整数指数幂.

正整数指数幂的运算满足如下法则：

（1)am·an=am+n;

(2）(am）n=amn,=am—n(m〉n,a≠0）；

（3）(ab）m=ambm.

如此规定零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂。并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立.

并且我们规定:

a0=1(a≠0）,a-n=（a≠0，n∈N*）.

2.分数指数

(1）根式

①方根的概念：

我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根(quadraticroot）；如果x3=a,那么x叫做a的立方根（cubicroot）。

一般地，如果一个实数x满足xn=a(n〉1且n∈N＊),那么x叫做a的n次方根(nthroot）。

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数。此时，a的n次方根只有一个，记为x=；

当n是偶数时，正数的n次实数方根有两个，这两个数互为相反数.此时，正数a的正的n次实数方根用符号表示，负的n次实数方根用符号表示。正的n次实数方根与负的n次实数方根可以合并成±（a0）。

由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作=0.

②根式的概念

式子叫做根式（radical），这里n叫做根指数(radicalexponent），a叫做被开方数（radicand)。

③根式的性质

当n是奇数时，n=a；当n是偶数时，n=｜a｜=a，

（2）分数指数幂

①正数a的正分数指数幂

我们规定:a=（a〉0，m、n∈N*，n1）.

②正数a的负分数指数幂

a==(a0，m、n∈N＊,n1）。

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。

(3)有理数指数幂的运算性质

①ar·as=ar+s（a〉0，r、s∈Q）；

②(ar）s=ars（a0,r、s∈Q);

③(ab)r=arbr（a〉0,b〉0，r∈Q)。

（4）无理数指数幂

教材中通过实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义.

一般地，无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的实数。

高手笔记

1。对根式的学习，要注意与所学过的平方根、立方根的概念以及二次根式、三次根式的性质进行类比,有利于我们正确地理解n次方根的概念以及n次根式的性质；要能够灵活地将分数指数幂与根式相互转化。

2.在最简结果中，不能既有根式又有分数指数幂的形式，同时，也不能既有指数幂又有分母的形式,如a、都不是最简形式.应该注意,分数指数的分子和分母与根式的根指数和被开方式的指数之间的对应关系不可颠倒。

3.经常要用的公式：

(1）a—b＝(）（)（a0,b0);

(2）a±2＋b＝(±）2(a0,b0）；

（3）a±b＝（±）（）(a0，b〉0)。

4。=(a≥0),其中的a≥0十分重要,无此条件则公式不成立。例如≠.

5。分数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质完全一样.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

名师解惑

1.为什么正数的偶次方根有两个并且互为相反数，而负数没有偶次方根？在以前学习的正整数指数幂中运算法则am÷an=am-n中为什么会限定mn？

剖析:(1）根据方根定义，若x是a（a〉0)的n次方根（n为偶数)，则xn=a，这时（—x）n=a，即—x也是a（a0）的n次方根.

假设x是a（a0)的n次方根（n为偶数）,则xn=a。

因为xn≥0,若a〈0，则xn=a不成立,且与方根定义矛盾。

（2)因为是正整数指数幂，如果没有m〉n的限定，m—n可能等于0或者m-n0.为了取消mn的限制,才定义了0次幂和负整数指数幂。这样m、n的大小就任意了，这样有可能产生负整数，也就把正整数指数幂扩充到了整数指数幂。

2.引入分数指数幂之后，任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？在分数指数幂a中为什么限定a0?

剖析：(1)引入分数指数幂之后,任何有意义的根式都能化成分数指数幂，即=a,这时被开方数a即是分数指数幂的底数，根指数的倒数即是分数指数幂的幂指数，显然a是a当m=1时的特例.

（2）分数指数幂的意义来源于根式，而要使m对任意的n∈N*且n1都有意义，必须限定a〉0,否则,当a=0时，若m=0或为分母是偶数的负分数,a没有意义；当a0时，若m为奇数，n为偶数，a没有意义.

（3）我们可以从一实例看看为什么会加上这个限制条件，如—3==（-27)=（-27)===3.

为什么会