数学学案：一次函数的性质与图象.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

数学人教B必修1第二章2。

1．理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质和图象．

2．学会运用一次函数的图象理解和研究函数的性质及解决一些简单的应用题．

1．一次函数的定义

函数____________叫做一次函数,又叫做______函数；它的定义域为____，值域为____．

一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是直线,其中k叫做该直线的______，b叫做该直线在y轴上的______．

【做一做1】下列函数中,是一次函数的是（)

A．y＝x2＋1B．y＝｜x｜

C．y＝kx＋3D．y＝2x＋6

2．一次函数的性质

（1）函数值的改变量Δy＝y2－y1与自变量的改变量Δx＝x2－x1的比值等于常数k。k的大小表示____________．

(2）当______时,一次函数是增函数；当______时，一次函数是减函数．

（3)当______时，一次函数为正比例函数，是奇函数;当______时，一次函数既不是奇函数也不是偶函数．

(4)直线y＝kx＋b(k≠0）与x轴的交点为______，与y轴的交点为______．

直线y＝kx＋b(k≠0)与x轴的交点为(－eq\f（b，k），0），与y轴的交点为(0,b)，其中－eq\f（b,k），b分别称为直线y＝kx＋b(k≠0）的横截距、纵截距，尤其要注意：－eq\f（b，k）∈R,b∈R，千万不要把它们理解成距离．

【做一做2－1】一次函数y＝kx－k，若y随x的增大而增大，则它的图象过（)

A．第一、二、三象限

B．第一、三、四象限

C．第一、二、四象限

D．第二、三、四象限

【做一做2－2】函数的解析式为x－2y＋7＝0，则其对应直线的斜率与纵截距分别为()

A．eq\f（1,2),eq\f(7,2）B．1，－7

C．1,eq\f（7,2)D．－eq\f(1,2)，eq\f(7,2)

一、解读y＝kx＋b(k≠0）与y＝b的区别与联系

剖析：y＝kx＋b（k≠0）是一次函数,y＝b是常数函数,其图象都是一条直线．下面从解析式、定义域、值域、单调性、奇偶性五个方面来分析二者的区别：

（1)解析式：常数函数y＝b可以看作y＝kx＋b当k＝0的情况,y＝b的解析式的特点是没出现自变量x。

（2）定义域：y＝kx＋b(k≠0)的定义域为R;对于y＝b，自变量x可以取任意实数，解析式中没有出现x,说明解析式对x没有要求,x可以取任意实数,即定义域也为R。

（3)值域：y＝kx＋b(k≠0）的值域为R；对于y＝b，常数函数只有一个函数值b，就是说不论自变量怎么取值,都对应同一个函数值b，因此值域为｛b}．

(4)单调性：对于y＝kx＋b（k≠0），当k＞0时为增函数，当k＜0时为减函数；对于y＝b，因为函数值是固定的常数b，没有增减变化，函数图象是一条水平的直线,没有起伏变化,所以常数函数在定义域上没有单调性．

（5)奇偶性：对于y＝kx＋b(k≠0),当b＝0时为奇函数，当b≠0时为非奇非偶函数；而对于y＝b，当b≠0时为偶函数，当b＝0时既是奇函数又是偶函数．

通过上面的分析，可知y＝b是函数，而式子x＝a（a是一固定常数）虽然含有x，但不能称其为函数，原因在于一个x对应无穷多个y，不符合函数的定义，应将其与y＝b区别开来．

二、教材中的“探索与研究

设一次函数y＝5x－3，取一系列的x值，使得每一个x值总是比前一个大2，然后计算对应的y值，这一系列的函数值之间有什么关系？对任意一个一次函数都有类似的性质吗?

剖析：根据函数y＝5x－3的解析式列表如下：

由上表可以看出，函数值后一个比前一个大10。

事实上，取x1＝a，则y1＝5a－3，取x2＝a

则y2＝5(a＋2）－3，

∴Δy＝y2－y1＝10.

一般地，设一次函数y＝kx＋b（k≠0)，若取x1＝a，

则y1＝ka＋b，取x2＝a＋2，则y2＝k(a＋2)＋b＝ka＋b＋2k，故Δy＝y2－y1＝2k（常数)．

题型一一次函数的概念和性质

【例1】已知函数y＝（2m－1)x＋1－3m,m

(1)这个函数为正比例函数；

(2）这个函数为一次函数；

（3)函数值y随x的增大而减小;

（4）这个函数图象与直线y＝x＋1的交点在x轴上？

分析：本题主要考查正比例函数与一次函数的性质．根据正比例函数和一次函数的定义第(1)、(2）题易求，(3)函数值y随着x的增大而减小，即直线的斜率小于0；（4)根据两直线与x轴交于同一点，可求出m的值．

反思：解此类型的题目,首先要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质．从概念和性质入手，问题便可迎刃而解．

题型二一次函数的图象