人教版初中数学九年级下册-28.1 第2课时 余弦函数和正切函数-经典通用.docVIP

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28．1锐角三角函数

第2课时余弦函数和正切函数

1．理解余弦、正切的概念；(重点)

2．熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．(重点)

一、情境导入

教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义？

学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知道，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角∠A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？

二、合作探究

探究点一：余弦函数和正切函数的定义

【类型一】利用余弦的定义求三角函数值

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，则cosA＝()

A.eq\f(5,13)B.eq\f(5,12)C.eq\f(12,13)D.eq\f(12,5)

解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，∴cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(12,13).故选C.

方法总结：在直角三角形中，锐角的余弦等于这个角的邻边与斜边的比值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

【类型二】利用正切的定义求三角函数值

如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanA＝()

A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)

C.eq\f(3,4)D.eq\f(4,3)

解析：在直角△ABC中，∵∠ABC＝90°，∴tanA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,3).故选D.

方法总结：在直角三角形中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

探究点二：三角函数的增减性

【类型一】判断三角形函数的增减性

随着锐角α的增大，cosα的值()

A．增大B．减小

C．不变D．不确定

解析：当角度在0°～90°之间变化时，余弦值随着角度的增大而减小，故选B.

方法总结：当0°＜α＜90°时，cosα的值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．

【类型二】比较三角函数的大小

sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是()

A．tan70°＜cos70°＜sin70°

B．cos70°＜tan70°＜sin70°

C．sin70°＜cos70°＜tan70°

D．cos70°＜sin70°＜tan70°

解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又∵cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞cos70°＝sin20°.故选D.

方法总结：当角度在0°≤∠A≤90°之间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1，tanA≥0.

探究点三：求三角函数值

【类型一】三角函数与圆的综合

如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交AD的延长线于点E，且AE⊥CE，连接CD.

(1)求证：DC＝BC；

(2)若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．

解析：(1)连接OC，求证DC＝BC可以先证明∠CAD＝∠BAC，进而证明eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))；(2)由AB＝5，AC＝4，可根据勾股定理得到BC＝3，易证△ACE∽△ABC，可以求出CE、DE的长，在Rt△CDE中根据三角函数的定义就可以求出tan∠DCE的值．

(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE＝90°.∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°，∴OC∥AE，∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠BAC，∴eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).∴DC＝BC；

(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(52－42)＝3.∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC，∴eq\f(EC,BC)＝eq\f(AC,AB)，即eq\f(EC,3)＝eq\f(4,5)，EC＝eq\f(12,5).∵DC＝BC＝3，∴ED＝eq\r(DC2－CE2)＝eq\r(32－（\f(12,5)）2)＝eq\f(9,5)，∴tan∠DCE＝eq\f(ED,EC)＝eq\f(\f(9,5),\f(12,5))＝eq\f(3,4).

方法总结：证明圆的弦相等可以转化