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2025北师大版高中数学一轮复习课件（新高考新教材）
第3节利用导数研究函数的极值、最值
课标解读
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三
次的多项式函数的最大值、最小值.
3.体会导数与极值、最大(小)值的关系.
1强基础固本增分
知识梳理
1.函数的极值函数极值反映的是函数局部的性质
极大值点和极小值点统称为极值点
取得极值的条件极值极值点
在包含x的一个区间(a,b)上,函数yf(x)在任何不
0f(x)为函点x为函数
大于点x处的函数值00
为x的一点处的函数值都
00数的极小yf(x)的极小
f(x)0
0值值点
在点xx附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0
0
在包含x的一个区间(a,b)上,函数yf(x)在任何不
0f(x)为函点x为函数
小于点x处的函数值00
为x的一点处的函数值都
00数的极大yf(x)的极大
f(x)0
0值值点
在点xx附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0
0
微点拨对函数极值的理解
(1)函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值,即端点一定不是函数的
极值点.
(2)在一个给定的区间上,函数可能有若干个极值点,也可能不存在极值点;
函数可以只有极大值没有极小值,或者只有极小值没有极大值,也可能既有
极大值又有极小值.
微思考若函数f(x)可导,则当f(x)0时,f(x)一定在xx处取得极值吗?
00
提示不一定.f(x)0是f(x)在xx处取得极值的必要不充分条件,例如
00
33
f(x)x,满足f(0)0,但f(x)x在x0处不取得极值.
2.函数的最值反映的是函数整体的性质
函数yf(x)在区间[a,b]内的最大值点x指的是:函数f(x)在这个区间内
0
所有点处
的函数值都不超过f(x)(如图).
0
极大值点
由图可以看出,最大值或者在(也是导数的零点)取得,或者在
区间的端点
取得.因此,要想求函数的最大值,一般首先求出函数导数的零
点,然后将所有导数零点与区间端点的函数值进行比较,其中最大的值即为
函数的最大
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