高等数学课件：导数概念.ppt

目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学导数概念一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、可导与连续的关系一、引例1.变速直线运动的(瞬时)速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为2.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线:割线MN的极限位置MT(当时)而切线MT的斜率时,两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度线密度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数的定义1.定义存在,记作:即则称函数在点处的导数,在点可导,当自变量x在x0取得增量时此极限为(仍在该邻域内),相应的函数取得增量如果并称也可记作在点的某邻域内有定义,设函数记作导数定义的其它常见形式：则称此函数在I内可导.注:(1)不存在,称函数f(x)在点不可导.若极限(2)若称函数f(x)在点导数为无穷大.如果y=f(x)在开区间I内的每一点都可导,(3)此时导数值构成的新函数称为导函数.运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度曲线在M点处的切线斜率即是在点x0的函数值.(4)由导数定义例1在x=0不可导.证明:证明函数2.单侧导数左导数:右导数:存在在x=0不可导.例2证明在x=0的可导性.解:在x=0不可导.例3求函数(C为常数)的导数.解:即例4求函数解:注：对一般幂函数(为常数)如（以后证明）例5求函数的导数.解:即类似可得例6求函数的导数.解:a=e时即例7求函数的导数.解:即a=e时例4求函数在x=0处的导数.解:在x=0处的导数不存在.例5设存在,解:求极限原式=三、导数的几何意义表示曲线在点处切线的斜率.函数y=f(x)在x0处的导数(1)则曲线有与x轴垂直的切线.曲线在点处的切线方程:法线方程:即若(2)如曲线在x=0处.目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学