湖南省衡阳县第四中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷（含解析）.docx

衡阳县四中2025届高三第一学期期中考试卷数学

第Ⅰ卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.集合，集合，则（）

A． B． C． D．

2.若，则（）

A． B． C． D．

3.已知向量满足，且，则向量的夹角是（）

A． B． C． D．

4.设，则的大小关系是（）

A. B.C. D.

5.的内角的对边分别为.已知，，若该三角形有两个解，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

6.已知文印室内有份待打印的文件自，上而下摞在一起，秘书小王要在这份文件中再插入甲乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为（）

A. B. C. D.

7.数列中的前项和，数列的前项和为，则（）

A． B． C． D．

8.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）

A.B.C.D.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.如图，在正方体中，点分别是棱和的中点，则下列选项正确的是（）

A． B．

C． D．

10.若，则下列叙述中正确的是（）

A．“”的充要条件是“”

B．“”是“”的充分不必要条件

C．“对恒成立”的充要条件是“”

D．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件

11.从装有红球、白球和黑球各个的口袋内一次任取出个球，则下列说法正确的是（）

A．事件“两球都不是白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立

B．事件“两球恰有一白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立

C．事件“两球至少有一个白球”与事件“两球都为白球”互斥而非对立

D．事件“两球都为红球”与事件“两球都为白球”是对立事件

第Ⅱ卷（非选择题）

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分．

12.已知的展开式中，二项式系数的和为，则它的二项展开式中，系数最大的是第__________项．

13.定义在上的函数单调递增，且对，有，则___________.

14.已知是定义在上的函数，是的导函数，且，，则不等式的解集是______．

四、解答题：本大题共5个大题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（13分）已知数列满足:，，且.

（1）求证:数列为等差数列；

（2）求数列的通项公式；

（3）设，求数列的前项和.

16.（15分）在锐角中，角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的周长的取值范围.

17.（15分）如图，在三棱柱中，，，，．

（1）证明：平面⊥平面．

（2）若为的中点，求到平面的距离．

18.（17分）某学校高一名学生参加数学竞赛，成绩均在分到分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：

（1）估计这名学生分数的中位数与平均数；（精确到）

（2）某老师抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，

若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差.（参考公式：）

（3）该学校有座构造相同教学楼，各教学楼高均为米，东西长均为米，南北宽均为米.其中号教学楼在号教学楼的正南且楼距为米，号教学楼在号教学楼的正东且楼距为米.现有种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为米，每个售价相应依次为元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：）

19.（17分）设，.

(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；

(2)记函数，若当时，函数有极大值，求的取值范围.

数学答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.【答案】D

【详解】

，为实数集中去掉除和以外的所有正整数的实数组成的集合．

，

所以．

故选：D．

2.【答案】D

【详解】

因为，所以，

则，

，

故选：D.

3.【答案】C

【解析】

因为，所以所以.

因为，所以，则.

故选：C.

4.【答案】A

【解析】

因为，

且，在上递增，

所以，即，

综上：

故选：A.

5.【答案】D

【解析】

∵在中,，

∴由正弦定理得，

∵，∴，

要使三角形有两解，得到：，且，即

∴