高等数学A1教学PPT课件1：15-第15讲-罗尔、拉格朗日中值定理.ppt

高等院校非数学类本科数学课程

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第四章一元函数的导数与微分

本次学习要求：

§熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理，并能较好运

用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的

证明等）。

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第四章一元函数的导数与微分

第五节微分中值定理

一.费马定理

二.罗尔中值定理

三.拉格朗日中值定理

四.柯西中值定理

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费马定理

微

分罗尔中值定理

中

值拉格朗日中值定理

定

理柯西中值定理

泰勒中值定理

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导数与差商

函数导数的定义为

f(xx)f(x)

f(x)lim

x0x

即函数在点x处的导数等于x0时,函数

f(xx)f(x)

在点x处的差商的极限值.

x

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我们常常需要从函数的导数所给出

的局部的或“小范围”性质,推出其整体的

或“大范围”性质.为此,我们需要建立函

数的差商与函数的导数间的基本关系式,

这些关系式称为“微分学中值定理”.

这些中值定理的创建要归功于费马、

拉格朗日、柯西等数学家.

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首先,从直观上来看看

“函数的差商与函数的导数间的基本关系式”

是怎么一回事.

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导数与差商

点P处切线的斜率：

yyf(x)可微

kf(x0)

P

B相等！

割线AB的斜率：

f(x)f(x)

Ak21

x2x1

Ox1x0x2x

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将割线作平行移动,那么它至少有一次会

达到这样的位置：

在曲线上与割线距离最远的那一点P处成

为切线,即在点P处与曲线的切线重合.

也就是说,至少存在一点(x1,x2),使得

f(x)f(x)

f()21

x2x1

该命题就是微分中值定理.

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极值的定义

设f(x)在U(x0)内有定义,若

ˆ

f(x)f(x0)xU(x0),

为函数的极大点

则称f(x0)为f(x)的极大值,x0.

ˆ

f(x)f(x0)xU(x0),

为函数的极小点

则称f(x0)为f(x)的极小值,x0.