四川省乐山外国语学校2024届高三3月期初测试数学试题.doc

四川省乐山外国语学校2024届高三3月期初测试数学试题

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知关于的方程在区间上有两个根，，且，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

2．设为自然对数的底数，函数，若，则()

A． B． C． D．

3．圆心为且和轴相切的圆的方程是（）

A． B．

C． D．

4．已知集合，，则（）

A． B．

C． D．

5．运行如图所示的程序框图，若输出的的值为99，则判断框中可以填（）

A． B． C． D．

6．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的()

A．9 B．31 C．15 D．63

7．已知，如图是求的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入

A． B．

C． D．

8．已知非零向量，满足，，则与的夹角为（）

A． B． C． D．

9．在中，为边上的中点，且，则（）

A． B． C． D．

10．已知正项等比数列的前项和为，则的最小值为（）

A． B． C． D．

11．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（）

A． B． C． D．

12．如图，已知直线与抛物线相交于A，B两点，且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是M，N，若，则的值是（）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．的展开式中的常数项为_______．

14．抛物线的焦点到准线的距离为．

15．已知等比数列的各项均为正数，，则的值为________.

16．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点；当直线经过椭圆的下顶点和右焦点时，的周长为，且与椭圆的另一个交点的横坐标为

（1）求椭圆的方程；

（2）点为内一点，为坐标原点，满足，若点恰好在圆上，求实数的取值范围.

18．（12分）已知非零实数满足．

（1）求证：；

（2）是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由

19．（12分）如图，在三棱柱中，已知四边形为矩形，，，，的角平分线交于.

（1）求证:平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

20．（12分）已知曲线的参数方程为为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.

（1）求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；

（2）若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.

21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．以平面直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设和交点的交点为，求的面积．

22．（10分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所．

（1）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；

（2）若已知甲同学特别喜欢高校，他必选校，另在四校中再随机选1所；而同学乙和丙对五所高校没有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选2所．

（i）求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率；

（ii）记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数，求随机变量的分布列及数学期望．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C

【解析】

先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合，解得的取值范围.

【详解】

由题化简得，，

作出的图象，

又由易知．

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.

2、D

【解析】

利用与的关系，求得的值.

【详解】

依题意，

所以

故选：D

【点睛】

本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.

3、A

【解析】

求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程.

【详解