高中数学 第一章 计数原理 1.4 简单计数问题课件 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学.pptVIP

§4简单计数问题

1.加深理解排列和组合的概念,进一步分清排列与组合的区别与

联系.

2.熟练掌握与排列、组合有关的应用题的常用解法,提高分析问

题和解决问题的能力.

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2.插空法:先把一般元素排列好,然后把特定元素插排在它们之间

或两端的空当中,此法主要解决“元素不相邻问题”.

【做一做2】有三款甲型手机和两款乙型手机要排成一列进行

展览,则两款乙型手机不相邻的排列方式有种.

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3.占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,

然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位

置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解

题原则.

【做一做3】用0,1,2,3这四个数字可以组成个没有重复

数字的四位数.

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题型一题型二题型三

【例1】某大学有四名学生参加了一项志愿者服务工作.将这四

名大学生分配到A,B,C三个不同的区域服务,每个区域至少分配一

人.若甲要求不到区域A,则不同的分配方案共有()

A.36种B.30种C.24种D.20种

解析:这里可把四名大学生看作四个元素,把A,B,C三个区域看作

三个位置.从元素角度分析,甲是特殊元素;从位置角度分析,区域A

是特殊位置.运用特殊优先的原则,可以有两种解题思路:

方法一:以特殊元素作为分类依据.

第一类:甲单独一人在某个区域服务.

第一步:给甲分配位置,有2种选择.

题型一题型二题型三

题型一题型二题型三

题型一题型二题型三

反思本题中除了甲这个特殊元素和区域A这个特殊位置外,还有“其

中两个人必须一起在某个区域服务”这个隐含条件,实际上本题中

不管是哪种方法都是以此作为分类的标准.

题型一题型二题型三

【变式训练1】某学校把淘宝专业开进大学课堂.现有4名该校

大学生,准备在学校提供的5个项目中进行投资,学校要求同一个项

目只能有1个人选择,每人只能选择一个项目,且由于项目A,B要求

资金较大,只有甲和乙才有经济能力进行投资,则不同的投资方法

种数有多少?

解:第一类:项目A,B中只有一个项目入选.

题型一题型二题型三

题型一题型二题型三

【例2】7个人按下列要求排队,分别有多少种不同的排法?

(1)甲不排在正中间,也不排在两端;

(2)甲、乙之间相隔2人;

(3)甲排在乙的右边;

(4)甲、乙都与丙不相邻;

(5)若7个人排成两排,第一排3人,第二排4人,共有多少种排法?

(6)若7个人排成一个圆圈,有多少种排法?

题型一题型二题型三

分析(1)的限制条件甲不排在正中间与两端,意思是说甲只能排在

余下的4个位置,因此可以先在这4个位置上排甲而后再排其他人员,

或者先从其余六人中选出三人排在正中间和两端.

(2)可以先从其余五人中选两人排在甲、乙之间,然后将此二人连

同甲、乙四人看作一个元素(捆绑法)参加全排列,同样甲、乙之间

也要进行全排列;还可以运用“数数法”将甲、乙排的位置确定出来,

即甲、乙只能在1与4,2与5,3与6,4与7这四种位置上.

(3)甲不是排在乙的右边,就是排在乙的左边,两者必居其一,因此

可以用“调序法”求解,或先按题目的要求从七个位置中选两个将甲、

乙排好,然后再排其余人员.

(4)本题可分成甲、乙相邻但不与丙相邻及甲、乙不相邻且都不

与丙相邻两类进行研究.

题型一题型二题型三

(5)把元素排成几排的问题,可化归为一排考虑,再在一排中分段

处理.

(6)7人排成一个圆圈,剪开排成一排,对应7个排列.故环状排列问

题用剪断直排法处理.

题型一题型二题型三

题型一题型二题型三

题型一题型二题型三

题型一题型二题型三

反思“在”与“不在”,“相邻”与“不相邻”或“相间”,是常见的有限制条

件的排列问题.“在”一般用“直接法”求解,“不在”可用“间接法”;“相

邻”问题一般用“捆绑法”,“不相邻”问题用“插空法”;“顺序一定”可

用“调序法”或“组合法”.一般来说,解排列、组合应用题除了上述方

法外,有时还用“占位法”或“数数法”,更多情况下需要对问题进行恰

当的分类或分步.分类时要注意“类与类”之间的并列性、独立性和

完整性;分步时要注意“步与步”之间的连续性、独立性和依赖