数学课堂导学案：平面几何中的向量方法.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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课堂导学

三点剖析

1。用向量方法解决简单的平面几何问题

【例1】如右图平行四边形ABCD中,已知AD=1，AB=2，对角线BD=2.求对角线AC的长.

思路分析:本题要求线段长度问题，可以转化为求向量的模来解决.

解：设=a，=b,则=a—b，=a+b。

而|｜=｜a-b|=，

∴||2=5—2a·b=4。①

又｜|2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a｜2+2a·b+｜b|2=1+4+2a·

由①得2a·b

∴||2=6,∴||=，即AC=.

温馨提示

（1）合理地选择基底是解决好问题的第一步，虽说任意两个不共线的向量都可以做基底，但选择恰当与否直接关系到解题过程的简单与复杂。

(2)几何问题用向量法解决体现出了较强的优势，有关线段的长度、平行、夹角等问题都可考虑向量法.

（3)在解决本题中，不用解斜三角形，而用向量的数量积及模的知识解决,过程中采取整体代入,使问题解决简捷明快.

2.向量坐标运算的应用

【例2】如右图已知四边形ABCD是正方形,BE∥AC,AC=CE，EC的延长线交BA的延长线于F。

求证：=。

思路分析：可以建立直角坐标系，要证明|｜=||,只要求出A与E、F点的坐标即可。

证明：如题图，以正方形ABCD的CD所在直线为x轴,以C点为原点建立直角坐标系。设正方形的边长为1,则A、B的坐标分别为（-1,1），(0，1）若E点的坐标为(x,y），则=(x,y-1),=(1,-1）。

∵∥，

即x+y=1①

又∵｜｜=｜｜。

∴x2+y2=2。②

由①②得E点的坐标为（，）.

如果设F点的坐标为（x′，1），由=（x′,1）与=（，）共线,得x′-=0，解得

x′=-(2+),即点F的坐标为（—2-，1）.

∵=（—1—,0)，=（,）。

∴｜｜=1+=｜｜。即AF=AE。

温馨提示

由于向量同时具备数、形的特点，能够顺利实现形、数的相互转化，因此在解决几何问题时常常能够化严格的逻辑推理为简单的计算.特别是在触及线段的平行或垂直问题时，向量便更有用武之地了.

3.将平面几何问题转化为向量问题

【例3】如下图三角形ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC于F,连结DF，求证：∠ADB=∠FDC.

思路分析：建立适当的坐标系,利用向量平行和垂直的条件及向量的数量积，转化为证明两向量的夹角相等.

解析:如题图，建立直角坐标系，设A（2,0）,C(0，2)，则D（0，1），于是=（—2，1），=（—2，2）,设F（x，y）,由⊥，得·=0，即（x,y）·(-2，1）=0,

∴-2x+y=0。①

又F点在AC上，则∥。

而=(-x，2-y）,因此2(-x）-(-2）（2-y)=0,

即x+y=2.②

由①②式解得x=，y=,

∴F（，）,=(,），=(0，1)·=,

又·=｜｜||cosθ=cosθ,

∴cosθ=,即cos∠FDC=，

又cos∠ADB=，∴cos∠ADB=cos∠FDC,

故∠ADB=∠FDC。

温馨提示

在解题中要注意题目的隐含条件.如本题中点F满足的关系除了BF⊥AD,还有F点在AC上.点在直线上问题往往转化成两向量共线，利用两向量共线的条件求解.

各个击破

类题演练1

用向量的方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

证明：如右图，设四边形ABCD的对角线AC、BD交于O点且互相平分(即=,=）

则=+=+=+=

因此∥，且||=｜｜

因此四边形ABCD为平行四边形.

变式提升1

如右图，平行四边形OACB中，BD=DC，OD与BA相交于点E，求证：BE=BA。

解析：设E′是线段BA上的一点,且使BE′=BA,∴只要证E，E′重合即可.

设=a,=b，则=a，

=+=b+a，

∵=-b，=a—

又∵3=

∴3(-b）=a-

∴=(a+3b）=（b+a）

∴=

∴O、E′、D三点共线.

∴E、E′重合，∴BE=BA.

类题演练2

如果正方形OABC的边长为1,点D、E分别是AB、BC的中点，试求cos∠DOE的值。

解：

分别以OA、OC为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则D（1，），E(，1）,

∴=(1，）,=（,1）。

∴cos∠DOE=

变式提升2

如右图P是正方形ABCD的对角线BD上一点,PECF是矩形，用向量法证明:

（1）PA=EF；（2）PA⊥EF。

证明：建立如上图所示的坐标系，设正方形的边长为1，｜|=λ，则A(0,1），P（λ，λ），E(1，λ），F（λ，0），

∴=（—λ，1—λ）,=(λ—1，-λ).

(1）∵|｜2=（—λ)2+（1—λ）2=λ2-+1，

||2=（λ-1）2+（-λ）2=λ2-+1，

∴||2