扬大附中东部分校2023-2024学年第二学期期中考试高一数学-A4.docx

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扬大附中东部分校2023-2024学年度第二学期期中考试

高一年级数学

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．设复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（???）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

2．已知平面直角坐标系内△ABC三个顶点的坐标分别为，D为边的中点，则AD=（????）

A． B． C． D．

【答案】B

3．设两个单位向量a,b的夹角为，则|4

A．1 B．

C． D．7

【答案】C

4．△ABC中，角，，的对边分别是，，，且，，则（?????）

A． B． C． D．

【答案】D

5．如图所示，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若AB=a，AD=b，则AF等于（????）

A．14a+b B．13a

【答案】B

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则CP·BP的最小值为（????）

A．－ B．0

C．4 D．－1

【答案】A

7．圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是著名的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美．小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，测得MB=106+2m在楼顶A处测得塔顶C的仰角为

??

A．20m B．m C．m D．m

【答案】B

8．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若sinBsinC3sinA

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】在锐角△ABC中，由余弦定理及三角形面积定理得：，

即有，而，则，又，

由正弦定理、余弦定理得，，化简得：，

由正弦定理有：，即，，

△ABC是锐角三角形且，有，，解得，

因此，

由得：，，

所以．故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9．已知复数，下列结论正确的有（????）

A． B．若，则

C． D．若，则

【答案】ACD

10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（????

A．若，则

B．若，则

C．若，则△ABC为等边三角形

D．若，则△ABC为锐角三角形

【答案】ABC

11．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是（???）

A．PA?

B．当AC⊥BD时，

C．当时，△ABC面积的最大值为

D．OA?OC

【答案】ABD

【详解】如图，过作直径，

依题意，PA?

=-(|OF

若AC⊥BD，则

则AB?CD=(AP+

同理可得PB?PD=-2

如图，当时，若△ABC为等边三角形，

则S△

下面说明此等边三角形存在的情况：取中点，连接，则在中，，则，又在中，，则，所以存在满足题意的点，C错误；

若为中点，连接，则OA?OC=

=OM

由题意0≤OM2≤OP2=2，则OA

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12．若α+β=54π,则(tanα+1)(tanβ+1)的值

【答案】2

13.若x∈R,则2-

【答案】5

14．在△ABC中，点是线段上的点，且满足OC=3OB，过点的直线分别交直线于点，且AB=mAE，AC=nAF，其中且，则的最小值为.

【答案】

【详解】依题意，作出图形如下，?BO=1

所以AO

AB+14

因为三点共线，所以，

因为，，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（13分）已知为锐角，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)(2)

【详解】（1）因为，

所以，

所以．

（2）因为，

所以，

所以．

16．(15分)已知平面向量a=3,1

（1）若a//b，求x的值；

（2）若a⊥b，求x

（3）若a,b=5π6

【答案】（1）若a∥b，则

（2）若a⊥b，则

（3）若a,b

17．（15分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C

在①，②，③这三个条件中任选一个，并解答下列问题（如果选择多个条件分别解答，