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学必求其心得，业必贵于专精

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课堂导学

三点剖析

各个击破

一、证明数学中的基础命题宜用反证法

【例1】求证:质数有无穷多.

证明:如果质数的个数有限，那么我们可以将全体质数列举如下:

p1,p2,…,pk,令q=p1p2…pk+1。

q总是有质因数的，但我们可证明任何一个pi(1≤i≤k)都除不尽q。假若不然,由pi除尽q，及pi除尽p1，p2，…pk，可得到pi除尽（q-p1p2…pk）,即pi除尽1，这是不可能的。故任何一个pi都除不尽q。这说明q有不同于p1,p2,…,pk的质因数.这与只有p1,p2，…，pk是全体质数的假定相矛盾.

所以质数有无穷多。

温馨提示

用反证法证明结论是B的命题，其思路是:假定B不成立,则B的反面成立,然后从B的反面成立的假定出发，利用一些公理\，定理\,定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果,从而判断“假设B不成立”是错误的.则B成立.

类题演练1

证明:1，,2不能为同一等差数列的三项。

证明：假设1，,2为某一等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,

则1=—md，2=+nd，

其中m，n为某两个正整数，由上面两式消去d，得

2m+n=(m+n)，

因为n+2m为有理数,而（m+n）为无理数，所以n+2m≠(n+m），

因此假设不成立，即1，，2不能为同一等差数列的三项.

变式提升1

a、b是平面内的两条直线,求证:它们最多有一个交点.

证明：假设直线a、b至少有两个交点A和B，则通过不同的两点有两条直线，这就与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以平面内的两条直线最多有一个交点.

二、某些数学问题的证明可用反证法

【例2】

已知a、b、c∈(0，1)，求证:(1-a）b,(1—b)c,（1—c)a不能同时大于.

证法一：假设三同时大于，即(1-a)b＞,（1—b）c＞，(1-c）a＞,三相乘,

得：（1-a）a·（1—b）b·(1-c）c＞。又(1—a）a≤（）2=.

同理，(1-b）b≤，(1—c)c≤.

以上三相乘得

(1-a）a(1—b）b（1-c)c≤，这与(1—a）a(1-b）b（1-c）c＞矛盾，故结论得证.

证法二：假设三同时大于.

∵0＜a＜1,

∴1—a＞0.

.

同理,。

三相加得矛盾,

∴原命题成立.

温馨提示

要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,一般讲，如“是”的反面是“不是”，“有”的反面是“没有”，“等”的反面是“不等，“成立”的反面是“不成立”，“有限”的反面是“无限”，以上这些都是相互否定的字眼，较为易找，应注意以下的否定：“都是”的反面为“不都是”,即“至少有一个不是”（不是“都不是”）;“都有的反面为“不都有”，即“至少一个没有”（不是“都没有）；“都不是的反面为“部分是或全部是”，即“至少有一个是”（不是“都是”）;“都没有”的反面为“部分有或全部有,即“至少一个有（不是“都有”).

类题演练2

命题“三角形中最多只有一个内角是直角的结论的否定是（）

A。有两个内角是直角

B.有三个内角是直角

C.至少有两个内角是直角

D。没有一个内角是直角

解析：“最多只有一个”即“只有一个或没有”,它的反面应是“有两个或有三个”。

答案：C

变式提升2

已知a是整数,a2是偶数,求证：a也是偶数.

证明：假设a不是偶数，则a为奇数。

设a=2m+1（m为整数），则a2=4m2+4m

∵4(m2+m)是偶数，

∴4m2+4m+1为奇数，即a2

∴a一定是偶数.

三、综合应用

【例3】证明方程2x=3有且只有一个根。

证明：∵2x=3,∴x=log23.这说明方程有一个根。

下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的。假设方程2x=3有两个根b1、b2(b1≠b2），

则2b1=3,2b2=3。两相除,得2b1—b2=1。

如果b1-b2＞0，则2b1-b2＞1,这与2b1—b2=1相矛盾;

如果b1-b2＜0，则2b1-b2＜1,这也与2b1-b2=1相矛盾.

因此b1-b2=0，则b1=b2。这就同b1≠b2相矛盾.

如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾。

故2x=3有且只有一个根.

温馨提示

“有且只有表示“存在且唯一因此，在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑,而证明唯一性时,通常使用反证法.

类题演练3

已知平面M内有两相交直线a、b(交点为P）和平面N平行.求证：平面M∥平面N。

证明：假设平面M不平行平面N，则M和N一定相交，设交线为c。

∵a∥平面N,

∴a∥c。

同理b∥c.

则过c外一点P有两条直线与c平行。

这与公理“过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾。所以假设不成立。所以平面M∥平面N.

变式提升3