高中数学人教A版必修第一册：诱导公式第二课时教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

数学

年级

高一

学期

秋季

课题

诱导公式（第二课时）

教学目标

1.经历诱导公式五与六的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合、联系等方法研究三角函数性质的经验，进一步提升直观想象核心素养。

2.初步应用诱导公式解决问题，进一步发展数学运算核心素养。

教学重难点

教学重点：

1.利用圆的对称性探究诱导公式五与六；

2.初步应用诱导公式进行三角函数式求值与化简。

教学难点：

1.发现终边与角α的终边关于直线y=x对称的角与角α之间的关系；

2.诱导公式的有效识记与应用。

教学过程

一、复习引入，继续研究

根据圆的对称性以及三角函数的定义，我们数形结合推导出了诱导公式二～四，诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的重要性质，是今后我们解决三角函数问题的重要手段.回顾这三组诱导公式的推导过程，都是借助单位圆以及角的终边关于原点、关于x轴、y轴的对称性得到的。

在上一节课中我们知道在单位圆中还有其他特殊的对称关系，它们所对应的角的三角函数是否也存在某些特殊的关系？今天我们就来继续对诱导公式进行探究。

图55问题1：

图5

5

如图，点P1关于直线y＝x的对称点为P5，以OP5为终边的角γ与角α有什么关系？角γ与角α的三角函数值之间有什么关系？

预设：如图，因为点P1与点P5关于直线y＝x对称，则OP1与x轴正方向所成角与OP5与y轴正方向所成角相等，均为α，所以以OP5为终边的角γ都是与角π2－α终边相同的角，即γ=2kπ＋(π2－α)（k∈

因此只要探究角π2－α与α

思考1：当P1不在第一象限的时候，γ=π2－α还成立吗？尝试

预设：如图我们呈现的是点在第一象限、在第二象限，在第三象限和在第四象限，以及它关于直线对称的的点位置。不管点在哪个象限，由于点与点P5关于y=x对称，OP1与直线y=x向上的方向所成的角与OP5与直线y=x向上方向所成的角相等，记为。则以OP1为终边的角，以OP5为终边的角，两式相加，消掉赛特得α+γ=π2的数量关系,进一步整理得到γ=π2－α。这就能说明不管点在什么象限或者坐标轴上，我们都可以得到角γ=π2－α的数量关系。

思考2：假设点P1(x1，y1)，请你结合图形猜想一下点P5(x5，y5)的坐标与点P1坐标之间的关系？想一想用平面几何的方法怎样证明？

预设：为了得到坐标的关系，我们可以过点做x轴的垂线段。过点做y轴的垂线段。由于和关于直线对称，所以就能得到做垂线段后的两个三角形全等，即,由全等三角形对应边相等,进一步将对应边的长度转化为坐标关系，就可以得到x5＝y1，y5＝x1的数量关系。

此外，当点落在其他象限或坐标轴上，根据对称性，这种坐标关系依然成立。

思考3：根据三角函数的定义，你能探究角α与角γ的三角函数值之间的关系吗？

预设：根据三角函数的定义，得

sin（π2－α）＝y5=x1＝cos

cos（π2－α）＝x5＝y1=sin

从而得公式五

sin（

sin（π2－α）＝cosα

cos（π2－α）＝sinα

思考4：如图，再作P5关于y轴的对称点P6，又能得到什么结论？

预设：如图，以OP6为终边的角β都是与角π－（π2－α）＝π2＋α终边相同的角，即β=2kπ＋(π2＋α)（k∈Z）．因此，只要探求角π2＋α

设P6（x6，y6），

由于P6是点P5关于y轴的对称点，

因此有：x6＝－x5＝－y1，y6＝y5＝x1．

根据三角函数的定义，得

sin（π2＋α）＝y6，cos（π2＋α）＝x

图7

图7

公式六

sin（

sin（π2＋α）＝cosα

cos（π2＋α）＝－sinα

思考5：角π2＋α可以看作由角α经过两次轴对称变换得到，那么从旋转的角度看，π2＋α的终边与角

预设：角α的终边旋转π2角，就得到角π2＋

通过类比追问2，想到可以用平面几何的方法证明点P1与点P6的坐标之间的关系．继而得到第六组诱导公式

这样我们就得到了诱导公式一～六，通过上一课时我们知道公式一的作用是将任意角转化为0～2π的角；公式二的作用是将π～3π2的角转化为0～π2的角，公式三的作用是将负角转化为正角，公式四的作用是将π2～π转化为0～π

我们再来观察公式五与公式六：这组公式的特点是等号左右的函数名发生了改变，余弦变正弦，正弦变余弦，实现正弦与余弦的相互转化。

二、初步应用，深化理解

例1证明：(1)sin3π2?α＝－cosα；(2)cos3π

预设：

(1)sin3π2?

＝－sinπ2?α

(2)cos3π2＋α＝cosπ＋π2

思考：观察前面六组诱导公式和证明中的两个式子，从形式上看他们具有什么样的共同点和不同点？什么时候函数名发生变化呢？符号又是如何确定的？

预设：通过观察我们可以得到的正弦（余