重庆市南开中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 含解析.docx

重庆南开中学高2026级高二（上）期中考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题共58分）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线定义求.

【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有.

故选：C

2.已知数列满足：，，则（）

A.10 B.11 C.12 D.13

【答案】B

【解析】

【分析】根据题设有，累加可得，即可求结果.

【详解】由题设，则，

即，则.

故选：B

3.若椭圆离心率为，上顶点到焦点的距离为4，则椭圆短轴长为（）

A.2 B. C.4 D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据离心率及椭圆参数关系求短轴长即可.

【详解】由题设，则，故，所以短轴长为.

故选：D

4.已知圆，直线与圆C交于A，B两点，若为直角三角形，则的值为（）

A.1 B.3 C.4 D.9

【答案】B

【解析】

【分析】根据题设为等腰直角三角形，进而有圆心到直线距离为2，结合点线距离公式列方程求参数.

【详解】由题设，若为直角三角形，即，显然为等腰直角三角形，

由圆的圆心，半径为，

所以到直线的距离，可得.

故选：B

5.已知为双曲线上一动点，过原点直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值.

【详解】设，且，即，

又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称，

可得与关于坐标原点对称，

则，

所以，，

即，

又，

即的最小值为，

故选：B.

6.已知正方体中，为平面上一动点，若到的距离与到的距离相等，则的轨迹为（）

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

【答案】D

【解析】

【分析】若，根据正方体结构特征，化为到点距离与的距离相等，结合抛物线定义确定轨迹.

【详解】因为平面，平面，

，又，，平面，

所以平面，

若，显然面，

由为平面上一动点，平面，

所以，

因为到的距离与到的距离相等，

所以到点距离与的距离相等，

结合抛物线定义，轨迹是在平面内，以为焦点，为准线的抛物线.

故选：D

7.已知双曲线的左顶点和右焦点分别为A，F，O为坐标原点，经过点A的直线l与双曲线的两条渐近线交于点M，N，设M，N的中点为P，满足，则直线l的斜率为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题设在上，令且、，得，再求交点坐标，结合题设列方程求参数k.

【详解】由，则在线段的中垂线上，而，即在上，

设且、，则，又双曲线准线为，

联立，则，，不妨令，

同理可得，则，

所以，所以直l的斜率为.

故选：A

8.已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题设，数形结合判断最大时位置，再应用余弦定理求得，结合离心率范围确定答案.

【详解】由题设，当且仅当为椭圆上下顶点时最大，只需此时即可，

显然，此时为等腰三角形，且，

所以，则，

故，又，则椭圆的离心率范围是.

故选：C

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数列满足：，则以下说法正确的是（）

A.数列为单调递减数列 B.

C. D.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据数列通项公式判断单调性，写出相关项依次判断其它各项正误.

【详解】因为，

所以，

所以为递减数列，A对；

易知，则，B错；

由，故，C错；

由，故，D对.

故选：AD

10.如图，，为双曲线左右焦点，，为该双曲线的两条渐近线，到一条渐近线的距离为2，过的直线与双曲线左右两支分别交于点M，N，.则下列说法正确的是（）

A. B.

C.的内切圆半径是 D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据点到直线的距离求解判断A；根据双曲线的定义结合勾股定理求解判断B；根据曲线的弦长公式和双曲线定义以及直角三角形内切圆半径公式求解判断C；在直角三角形中，利用角的正切定义即可判断D.

【详解】由，可知，

不妨设到渐近线的距离为2，即，故A对；

所以，

设，又，

所以，即，故B对；

因为，所以点M在以线段为直径的圆上，且圆的方程额，

因为点M在双曲线的右支上，不妨