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复变函数与积分变换
沈阳工业大学理学院
第三节洛朗级数
一、洛朗定理
一、洛朗定理
问题的提出：
一个在以z为中心的圆域内解析的函数f(z),可以在该圆域内
0
展开成z−z的幂级数.如果f(z)在z处不解析，那么f(z)在什
00
么范围内能展开成幂级数,它的形式又是怎样的呢？
一、洛朗定理
定理1：设f(z)在圆环域R1z−z0R2内解析，那么
f(z)Cn(z=−z0)n
n=−R
2
1f()R1
其中Cnn+1d.Z0
2i(−z)
c0
这里C为圆环域R1z−z0R2内C
任何一条绕的正向简单闭曲线.
0
n
f(z)C(z=−z)f(z)Rz−zR
说明：（1）n0称为函数在圆环域102
n=−
右端的级数称为f(z)在圆环域Rz−zR
内的洛朗展开式，102
内的洛朗级数.
(2)洛朗级数中的正幂项与负幂项分别称为洛朗级数的解析部分
与主要部分.
f(z)Rz−zR内的洛朗展开式是唯一的.
（3）在圆环域102
（4）如果f(z)在圆环域0z−z0R内解析，则f(z)在此圆环
域内的洛朗展开式，右端的级数为f(z)在此圆环域内的泰勒级
数.
讨论洛朗级数的收敛区域
n
将洛朗级数Cn(z−z0)分为：正幂项与负幂项部分
n=−
nn
C(z−z)=C+C(z−z)++C(z−z)+()
n0010n0
n0
−n−1
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