高等数学课件：多元函数微分学的几何应用.ppt

目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学*8.6.2曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用8.6.1空间曲线的切线与法平面8.6.1空间曲线的切线与法平面(1)空间曲线的参数方程为：Oxyz割线的极限位置即为切线MT.切线方程当趋向于M时,过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.称为曲线的法平面方程:切线方程:切向量例1.求曲线在点M(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.解：点(1,1,1)对应于故点M处的切向量为因此切线方程为:法平面方程:切线方程:法平面方程为:即取x为参数,则曲线?的参数方程为:(2)空间曲线的方程为法平面方程：(3)光滑曲线由上节隐函数存在定理可知,则曲线?在点?可表示为处的切向量为切线方程：法平面方程:例2求曲线在点M(1,–2,1)处的切线方程与法平面方程.解:方程组两边对x求导得解得曲线在点M(1,–2,1)处的切向量:切线方程:即法平面方程:即点M(1,–2,1)处的切向量8.6.1曲面的切平面与法线(1)设光滑曲面在曲面上通过点对应点M,切线方程为不全为0.则?在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为?在该点的切平面.?上过点M的所有切线都在同一平面上.在上,证明:得由于曲线?的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.两边对t求导令法线方程切平面方程曲面在点的法向量过M点且垂直于切平面的直线称为曲面?在点M的法线.例3求椭球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:所以椭球面在点(1,2,3)处切平面方程即法线方程法向量令法线方程:令(2)光滑曲面?的方程:切平面方程:故曲面法向量法向量注:用则法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向向上,例4求旋转抛物面切平面和法线方程.在点处的切平面方程:解:法线方程:在点处的则练习求曲面切平面方程.处的切平面方程:解:与平面平行的则曲面在切点处的法向量为从而目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学*