高等数学课件：函数展开成幂级数.ppt

目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学运行时,点击按钮“泰勒”,或相片,可显示泰勒简介,演示结束自动返回.*函数展开成幂级数11.5.1泰勒(Taylor)公式与泰勒级数11.5.2直接展开与间接展开幂级数两类问题:在收敛域内和函数求和展开11.5.1泰勒(Taylor)公式与泰勒级数且在该邻域内具有任意阶导数,某邻域内能展开成的幂级数，即若函数则所以于是得到于是在各阶导数都存在的条件下得级数f(x)的幂级数为f(x)的泰勒级数.则称当x0=0时,(1)对此级数,它的收敛域是什么？(2)在收敛域内,和函数是否为f(x)?问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,泰勒级数又称为麦克劳林级数：公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日型余项.阶的导数,时,①其中②则当泰勒定理1泰勒(Taylor)中值定理证明略.所以泰勒公式可以表示为f(x)的泰勒级数:f(x)的泰勒公式:定理2各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数证明设函数f(x)在点x0的某一邻域内具有“”“”11.5.2直接展开与间接展开1直接展开法第一步第二步第三步是否为直接展开成幂级数的步骤:展开方法直接展开法—利用泰勒公式间接展开法—利用已知函数的幂级数0.展开式求函数及其各阶导数在x=0处的值;写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径R;判定在收敛区间(－R,R)内例1将函数展开成x的幂级数.解其收敛半径为故得级数其余项故(?在0与x之间)例2将展开成x的幂级数.解得级数:其收敛半径为其余项(?在0与x之间)对上式两边求导可推出:间接展开常用函数的幂级数展开式当m=–1时2间接展开法利用已知函数的幂级数展开式,例3展开成x的幂级数.解∴将所给函数展开成幂级数.将函数∵例4将展开成x的幂级数.解例4将函数解其中利用的展开式,即得展开成的幂级数.目录上页下页返回结束高等数学目录上页下页返回结束高等数学运行时,点击按钮“泰勒”,或相片,可显示泰勒简介,演示结束自动返回.*