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《角的平分线的性质的综合运用》教案

教学目标

教学目标：综合运用角的平分线的性质的两个定理解决问题，并学习结合之前的知识（如全等三角形等）解决更为综合的问题．

教学重点：识别基本图，分析推理，整合思路，规范书写，反思优化．

教学难点：通过分析进行合理的推理和优化．

教学过程

时间

教学环节

主要师生活动

2分钟

8-10分钟

4-5分钟

6-8分钟

2-3分钟

复习定理

回顾整合

例题讲解

小结与作业

复习定理

1．角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．

符号表示：∵OP平分∠AOB，

PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD=PE．

2．交换题设结论（注意附加条件）：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．

符号表示：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，

∴点P在∠AOB的平分线上．

我们上节课还留下了一个思考问题：为什么定理2会附加角的内部这个条件？我们先通过研究相关的一系列问题，来回答并帮助大家进行近期学习内容的复习．

【问题】

1．回顾

之前的课上我们研究过这样一个书上的问题：

（教材50页例题）如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．

求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．

解题思路：过点P分别向三角形各边作垂直，标垂足．

由角的平分线的性质得PD=PE及PE=PF．

进而PD=PE=PF．于是问题得证．

2．追问

点P在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？

∵PD＝PE＝PF（已证），

又PD⊥AB，PF⊥AC，

∴点P在∠BAC的平分线上（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）．

由此可知：三角形的三条角平分线交于一点．

我们之前用角的平分线的性质来验证三角形两条角的平分线的交点到三边距离相等，现在再通过定理2来判断这个交点也在第三条角平分线上．

3．类比

（教材50页练习第2题）如图，△ABC的∠ABC外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P．（1）求证：点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．

思路：过点P分别向三角形各边作垂直，标垂足．由角的平分线的性质得PF＝PG及PG＝PH．进而PF＝PG＝PH．于是问题得证．

过点P作PF，PG，PH分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为F，G，H．

∵BD为∠ABC外角的平分线，点P在BD上，

∴PF＝PG．（角的平分线上的点到这个角两边的距离相等）

同理PG＝PH．

∴PF＝PG＝PH．

即点P到三边AB，BC，CA所在的直线的距离相等．

（2）点P在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的相邻两个外角的平分线与第三个内角角平分线有什么关系？

∵PM⊥AF，PN⊥BC，

∴点P在∠BAC的平分线上（角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上）．

由此可知：三角形的相邻两个外角的平分线与第三个角的角平分线交于一点．

4．应用

（教材P55复习题12第6题）如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？

我们借此抽象出这样一个数学问题：

已知△ABC，在它的内部求作一个点O，使其到三角形三边都相等．

大家可以从第1个定理入手，通过角的平分线上的点到角的两边的距离相等，发现使点到三条边距离相等的加油站，应该在角的平分线的交点上．交点即为建加油站的位置．

也可以从定理2入手思考：先不想三边，而是考虑其中两边，再进行同理．角的内部到角两边距离相等的点在哪儿呢？在角平分线上．那就应该作三角形的两条角平分线，这样就找到符合要求的交点了．

作图：分别作∠BAC和∠ABC的平分线，两线交于点O，即为所求位置．

提醒：如果题目要求尺规作图，保留作图痕迹，请仿照我们在角的平分线的性质第1节课讲过的尺规作图步骤，逐条作出需要的角平分线．如果没有要求，那么只要说明作的是角平分线就行了，它是初中阶段的基本作图之一，可以直接使用．

5．发展

（对于定理2“在角的内部”这个限制条件的思考）

如果我们去掉在三角形内部这个条件，结论会怎样？

已知△ABC，求作一个点O，使其到三角形三边都相等．

解：如图所示：

（1）作出△ABC两内角的平分线，其交点为O1；

（2）分别作出△ABC两外角平分线，其交点分别为O2，O3，O4．

故满足条件的修建点有四处，即O1，O2，O3，O4．

回答之前的思考问题：

如果没有“角的内部”这个限制条件，那么三角形的外角平分线的点也应该符合要求．也就是说，如果不加限制，定理2是不对的，到角两边距离相等的点在三角形内角的平分线或者在外角的平分线上．思考问题要全面．

例1．（改编教材51页习题12．3第4题）如图，在△ABC中，点D，E，F在