2025年中考数学总复习第一部分考点精讲第七章图形变化微专题(十六)几何最值问题第2课时利用两点之间线段最短求最值.pptxVIP

第2课时利用两点之间线段最短求最值;类型1：求线段和最小值

如图,等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线,F是线段AD上的动点,E是AB边上一点,且AE＝2,则线段EF＋CF的最小值为.

【思路点拨】连接EC交AD于点F′,此时EF′＋CF′＝CE最小.;【方法归纳】

1.异侧线段和最小值问题

如图,两定点A,B位于直线l异侧,在直线l上找一点P,使PA＋PB值最小.

解题思路：根据两点之间线段最短,PA＋PB的最小值即为线段AB的长,连接AB交直线l于点P,点P即为所求.;如图,在菱形ABCD中,AB＝6,E,F分别是AB,BC的中点,点P在对角线AC上,连接PE,PF,则PE＋PF的最小值为.

【思路点拨】由菱形的对称性得直线AC是菱形的对称轴,取点E关于AC的对称点E′,连接E′F,交AC于点P′,PE＋PF的最小值为E′F的长.;2.同侧线段和最小值问题

见本书P54例2“方法归纳”

;类型2：求线段差最大值

如图,在△ABC中,AB＝3,EF是BC的垂直平分线,P是直线EF上的动点,则|PA－PB|的最大值为.

【思路点拨】点P在直线AB与中垂线EF交点处.;3.同侧线段差最大值问题

如图,两定点A,B位于直线l同侧,在直线l上找一点P,使|PA－PB|值最大.

解题思路：根据两边之差小于第三边,|PA－PB|的最大值即为AB的长,连接AB并延长,与直线l交于点P,点P即为所求.;如图,在等腰三角形ABC中,∠BAC＝120°,AB＝AC＝4,E为射线AD上一点,∠BAD＝15°,连接BE,CE,则CE－BE的最大值为.

【思路点拨】作点B关于AD的对称点B′,连接CB′并延长,交AD于E′.△AB′C为等腰直角三角形.当点E,B′,C三点共线时,即点E位于点E′处时,CE－BE的值最大,即CB′的长.;4.异侧线段差最大值问题

问题：两定点A,B位于直线l异侧,在直线l上找一点P,使得|PA－PB|值最大.

解题思路：将两定点异侧转化为同侧问题,即可解决.作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′并延长,与直线l交于点P,点P即为所求.;如图,在△ABC中,∠ABC＝45°,P为AC上一定点,BP＝6,D,E分别是AB,BC上的动点,连接DP,EP,DE,则△DEP周长的最小值为.

【思路点拨】分别作点P关于AB,BC的对称点P′,P″,并连接P′P″,交AB,BC于点D′,E′,此时△DEP的周长最小.;【方法归纳】如图,P是∠AOB内部的一定点,在OA上找??点M,在OB上找一点N,使得△PMN周长最小.

解题思路：要使△PMN周长最小,即PM＋MN＋PN值最小,根据两点之间线段最短,将三条线段转化到同一直线上.分别作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,交OA,OB于点M,N,点M,N即为所求.;类型3：两定两动(两点两线)

如图,在矩形ABCD中,AB＝4,AD＝6,AE＝4,AF＝2,G,H分别是边BC,CD上的动点,则四边形EFGH周长的最小值为.

【思路点拨】作点E关于CD的对称点E′,作点F关于BC的对称点F′,连接E′F′,分别交CD于点H′,交BC于点G′,即可求出四边形EFGH周长的最小值.;【方法归纳】如图,P,Q是∠AOB内部的两定点,在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得四边形PQNM周长最小.

解题思路：要使四边形PQNM周长最小,PQ为定值,即求得PM＋MN＋NQ的最小值即可,需将三条线段转化到同一直线上,分别作点P,Q关于OA,OB的对称点P′,Q′,连接P′Q′,交OA,OB于点M,N,点M,N即为所求.;1.如图,在矩形ABCD中,M是AB边上一点,且BM＝5,P是直线BC上一动点,若CD＝2BC＝8,则|PD－PM|的最大值为.;?;3.如图,已知正方形ABCD的边长为3,E是AB边上的一动点,连接ED,将ED绕点E顺时针旋转90°到EF,连接DF,CF,则DF＋CF的最小值是.

【解析】作FG⊥AB延长线于点G,证△AED≌△GFE(AAS),得AE＝BG＝FG,确定F在射线BF上运动,作点C关于BF的对称点C′,由∠FBG＝45°确定C′在AB延长线上,当D,F,C′三点共线时,DF＋CF＝DC′最小.;4.如图,在边长为4的正方形ABCD中,