2025年中考数学总复习第一部分考点精讲第四章三角形微专题(七)半角模型.pptxVIP

微专题(七)半角模型

类型1：含45°半角【模型分析】模型特点：共端点的等线段，共顶点的倍半角．如图，在Rt△BAC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.解题方法：将△ABD绕点A旋转，使AB与AC重合，得到△ACF，连接EF.【结论】①△AED≌△AEF；②△CEF为直角三角形；③BD2＋CE2＝DE2.

如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，连接AE，EF，AF，∠EAF＝45°.求证：EF＝BE＋DF.【方法一】补短法【思路点拨】延长CD至点G，使得DG＝，然后证明△AFE≌△AFG.BE

证明：延长CD至点G，使得DG＝BE，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠DAG＋∠FAD＝45°，即∠GAF＝45°，∴∠EAF＝∠GAF，∴△AFE≌△AFG(SAS)，∴EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.

【方法二】旋转法【思路点拨】将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，证明△AFE≌△AGE.证明：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，使AD与AB重合，由旋转的性质可知△ADF≌△ABG，∴DF＝BG，∠D＝∠ABG＝90°，AF＝AG，∠FAD＝∠GAB，∴∠ABG＋∠ABE＝180°，即点G，B，E三点共线，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠FAD＝45°，∴∠BAE＋∠GAB＝45°，即∠EAG＝45°，∴∠EAG＝∠EAF，∴△AFE≌△AGE(SAS)，∴EF＝EG，∵EG＝BE＋BG，∴EF＝BE＋DF.

类型2：含60°半角【模型分析】如图，△BCD是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∠A＋∠BDC＝180°，∠EDF＝60°.解题方法方法1：延长AC至点G，使CG＝BE，连接DG.方法2：将△BDE绕点D旋转，使BD与CD重合(需证明F，C，G三点共线)．【结论】①△DEF≌△DGF；②EF＝BE＋CF.

如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，在BC边上取点P，连接AP，以AP为边作∠PAQ＝60°，交CD于点Q，连接PQ.求证：△APQ是等边三角形．

证明：连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD.∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝∠DAC＝60°，∴△ABC和△ADC都是等边三角形，∴BA＝CA，∠ACQ＝60°.∵∠PAC＋∠CAQ＝60°，∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠CAQ＝∠BAP，∴△BAP≌△CAQ(ASA)，∴AP＝AQ，∴△APQ是等边三角形．

如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E均在边BC上，∠DAE＝45°，若BD＝2，CE＝4，求DE的长．

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2．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB，AC边于M，N两点，连接MN.(1)探究BM，MN，NC之间的数量关系，并说明理由；(2)若△ABC的边长为2，求△AMN的周长．

解：(1)MN＝BM＋NC，理由：将△MBD绕点D顺时针旋转120°，得到△ECD，∵∠A＝60°，∠BDC＝120°，∴∠ABD＋∠ACD＝180°，由旋转的性质得ED＝MD，∠ECD＝∠ABD，∠EDC＝∠MDB，∴∠ECD＋∠ACD＝180°，∴N，C，E三点共线，∵∠MDN＝60°，∴∠NDC＋∠EDC＝∠NDC＋∠MDB＝60°，∴∠EDN＝∠MDN，∵DN＝DN，∴△EDN≌△MDN(SAS)，∴NE＝CE＋NC＝MN，∵CE＝BM，∴MN＝BM＋NC.

(2)∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝2，由(1)可得MN＝BM＋NC，∴△AMN的周长为AM＋MN＋AN＝AM＋BM＋NC＋AN＝AB＋AC＝4.