专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题微点2圆锥曲线中的探索性问题.docx

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

专题24圆锥曲线中的存在性、探索性问题

微点2圆锥曲线中的探索性问题

【微点综述】

近年来，在圆锥曲线考查的题型中经常会出现探究性问题．探究性问题是一种开放性问题，是指命题中缺少一定条件或无明确结论，需要经过猜测、归纳并加以证明的题型．圆锥曲线的考题主要是结论探究的开放性问题，有探究位置关系的，有探究点是否存在直线是否存在圆是否存在的，有探究圆是否过定点直线是否过定点的，等等，有结论存在和结论不存在两种情形．这类题型在考查圆锥曲线基础知识和几何性质的同时，能很好地考查学生的运算求解、推理论证等数学能力，对学生的综合能力要求较高．

1．圆锥曲线中的探究性问题的常用解题策略

（1）先假设存在或结论成立，然后引进未知数、参数并建立有关未知数、参数的等量关系，若能求出相应的量，则表示存在或结论成立，否则表示不存在或结论不成立；

（2）在假设存在或结论成立的前提下，利用特殊情况作出猜想，然后加以验证．在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别．

2．常见题型及其解法

圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：

（1）探索常数的存在性；（2）探索点的存在性；（3）探索最值的存在性；（4）探索曲线的存在性；

（5）探索命题是否成立等，涉及此类问题的求解主要是研究直线与圆锥曲线的位置关系．下面分类说明．

类型一、探索常数的存在性问题

1．如图，椭圆经过点P（1，），离心率e=12，直线l的方程为x=4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为.问：是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.

类型二、探索点的存在性问题

2．如图，椭圆E：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于A?B两点，且△的周长为8.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线l：与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

3．已知定点，，定直线：，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍．设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、．

(1)求的方程；

(2)试判断以线段为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．

类型三、探索曲线的存在性问题

4．如图，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．

（1）求，的方程；

（2）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.

①证明：；

②记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由．

5．已知椭圆过点，其焦距为．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：

（i）如图（1），点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，求面积的最小值；

（ii）如图（2），过椭圆上任意一点作的两条切线和，切点分别为．当点在椭圆上运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．

（2022安徽·淮南一中高二月考）

6．已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，且椭圆C的焦距、双曲线E的实轴长、双曲线E的焦距依次构成等比数列.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若双曲线E的虚轴的上端点为，问是否存在过点的直线交椭圆C于两点，使得以为直径的圆过原点？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，请说明理由.

类型四、探索最值的存在性问题

7．已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，

（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

类型五、探索命题是否成立问题

8．已知圆：（），设为圆与轴负半轴的交点，过点作圆的弦，并使弦的中点恰好落在轴上．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）延长交曲线于点，曲线在点处的切线与直线交于点，试判断以点为圆心，线段长为半径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．

9．已知为椭圆的右焦点，点在上，且轴．

(1)求椭圆的方程；

(2)过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否构成等差数列？请说明理由.

【总结】探索性问题的基本题型及其求解方法：

（1）