2025年中考数学总复习中档解答题题组练(二).docxVIP

中档解答题题组练(二)

(针对中考第20～21，24～25题)

(时间：30分钟满分：38分)

1．(8分)课上我们学习了应用尺规作“平分任意一个已知角”，小明对此问题展开进一步探究学习．

【材料阅读】

如图①，鼓楼是我国西南民族地区侗族的特色建筑，它的平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．工匠在制作底座和支撑木柱的连接结构时，需要多次作角平分线以实现对称，从而使得结构受力均衡，充分体现侗族工匠的数学应用能力．例如古代侗族没有量角器，仅凭一把“角尺”(如图②所示)，即可将任意角进行平分，下面是应用“角尺”作角平分线的一种方法：

已知∠AOB，第一步：分别在∠AOB的OA和OB边上，用带有刻度的“角尺”测量得到点C和D，使得OC＝OD；

第二步：连接C，D，得到线段CD；

第三步：用“角尺”作出过点O与DC垂直的线段OE，OE就是∠AOB的平分线．

【探究与应用】

(1)请参阅上述材料，借助“角尺”，作出图③木料中∠AOB的平分线；

(2)小明对作图原理进一步探究，第二步作图完成后，可得△OCD为等腰三角形；第三步作图完成后，OE平分∠AOB的依据是等腰三角形底边上的高也是顶角平分线．

①②③

解：(1)如图③所示，射线OE即为所求．

2．(10分)从华夏文明的发源地到丝绸之路的必经之地，这里承载着中华民族几千年的璀璨基因，这里是羲皇故里，这里有中国四大石窟之一的麦积山石窟．这里，就是甘肃天水．在不透明的袋子中装有4个小球，除标有的汉字不同外无其他差别，小球上分别标有汉字“最”“美”“天”“水”，每次摸球前先摇匀．

(1)随机摸出一个小球，摸到“美”字的概率为eq\f(1,4)；

(2)随机摸出一个小球后，不放回并摇匀，再随机摸出一个，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的概率．

解：(2)列表如下：

最

美

天

水

最

(最，美)

(最，天)

(最，水)

美

(美，最)

(美，天)

(美，水)

天

(天，最)

(天，美)

(天，水)

水

(水，最)

(水，美)

(水，天)

共有12种等可能的结果，其中两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的结果有(天，水)，(水，天)，共2种，

∴两次摸到的球上的汉字，一个是“天”，一个是“水”的概率为eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).

3．(10分)如图，直线y＝kx＋b经过A(0，－2)，B(－1，0)两点，与双曲线y＝eq\f(m,x)(x＜0)交于点C(a，2)．

(1)求直线和双曲线的解析式；

(2)过点C作CD⊥x轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，直接写出点P的坐标．

解：(1)∵点A(0，－2)，

B(－1，0)在直线y＝kx＋b上，

∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,－k＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－2，,b＝－2，))

∴直线解析式为y＝－2x－2；

∵点C(a，2)在直线y＝－2x－2上，

∴－2a－2＝2，∴a＝－2，

即点C为(－2，2)，

∴m＝－4，

∴双曲线解析式为y＝－eq\f(4,x)(x＜0)．

(2)∵CD⊥x轴，C(－2，2)，

∴D(－2，0)，CD＝2，

∵B(－1，0)，∴BD＝1，

∵A(0，－2)，∴OA＝2，

若以O，A，P为顶点的三角形与△BCD相似，则OP＝1或4，

∵点P在x轴上，

∴点P的坐标为(－4，0)，(－1，0)，(1，0)或(4，0)．

4．(10分)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC.D，E分别是BC，AC的中点，连接DE并延长至点F，使DE＝EF，连接AF.

(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；

(2)求证：AF与⊙O相切；

(3)若tan∠BAC＝eq\f(3,4)，BC＝12，求⊙O的半径．

(1)证明：∵D，E分别是BC，AC的中点，

∴BD＝CD，AE＝CE，

又∵∠AEF＝∠CED，

DE＝EF，

∴△AEF≌△CED(SAS)，

∴AF＝CD，∠F＝∠EDC，

∴AF＝BD，AF∥BD，

∴四边形ABDF是平行四边形．

(2)证明：连接AD，

∵AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，

∴AD过圆心O，

∵AF∥BD，∴AF⊥AD，

∵OA为半径，∴AF与⊙O相切．

(3)解：过点B作BQ⊥AC于点Q，连接OB，

∵tan∠BAC＝eq\f(3,4)，∴eq\f(BQ,AQ)＝eq\f(3,4)，

设BQ＝3x，则AQ＝4x，

∴AC＝AB＝eq\r(AQ2＋BQ2)＝5x，