2025年中考数学总复习中档解答题题组练(三).docxVIP

中档解答题题组练(三)

(针对中考第22～25题)

(时间：30分钟满分：38分)

1．(10分)每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20m)，且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m.

(1)若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长；

(2)若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)

解：(1)在Rt△ABD中，

∠ABD＝53°，BD＝9m，

∴AB＝eq\f(BD,cos53°)≈15(m)，

∴此时云梯AB的长约为15m.

(2)在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，

理由：由题意得AD＝AE－DE＝17，

∴AB＝eq\r(AD2＋BD2)＝eq\r(172＋92)＝eq\r(370)(m)，

∵eq\r(370)m＜20m，

∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．

2．(8分)某校开展了文化知识竞赛活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析(竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：90≤x≤100；B：80≤x90；C：70≤x80；D：60≤x70；E：50≤x60)．并绘制了如下尚不完整的统计图．

抽取学生成绩等级人数统计表

等级

A

B

C

D

E

人数

m

27

30

12

6

抽取学生成绩等级扇形统计图

其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120°.

(1)样本容量为90，m＝15；

(2)全校1200名学生中，请估计A等级的人数；

(3)全校有5名学生得满分，七年级1人，八年级2人，九年级2人，从这5名学生中任意选择两人在国旗下分享自己文化知识阅读的故事，请用画树状图或列表的方法，求这两人来自同一个年级的概率．

解：(2)1200×eq\f(15,90)＝200(名)．

答：全校1200名学生中，估计A等级的人数有200名．

(3)设七年级学生为A，八年级学生为B1，B2，九年级学生为C1，C2，

画树状图如下：

由树状图可知一共有20种等可能的结果，其中两人来自同一个年级的结果有4种，

∴P(选择的两人来自同一个年级)＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).

3．(10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l与反比例函数y＝eq\f(k,x)的图象交于M(eq\f(1,2)，4)，N(n，1)两点．

(1)求反比例函数及一次函数的解析式；

(2)求△OMN的面积；

(3)若点P是y轴上一动点，连接PM，PN.当PM＋PN的值最小时，求点P的坐标．

解：(1)反比例函数解析式为y＝eq\f(2,x).

一次函数的解析式为

y＝－2x＋5.

(2)设直线l交x轴于点A，交y轴于点B，

∴A(eq\f(5,2)，0)，B(0，5)．∴OA＝eq\f(5,2)，OB＝5.

∴S△OMN＝S△AOB－S△AON－S△BOM

＝eq\f(1,2)AO·BO－eq\f(1,2)AO·yN－eq\f(1,2)BO·xM

＝eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×5－eq\f(1,2)×eq\f(5,2)×1－eq\f(1,2)×5×eq\f(1,2)

＝eq\f(15,4).

(3)作点M关于y轴的对称点M′，连接M′N交y轴于点P，则PM＋PN的最小值等于M′N的长．

∵M(eq\f(1,2)，4)与M′关于y轴对称，

∴M′(－eq\f(1,2)，4)．

又N(2，1)，

∴直线M′N的解析式为y＝－eq\f(6,5)x＋eq\f(17,5).

令x＝0，则y＝eq\f(17,5)，

∴P(0，eq\f(17,5))．

4．(10分)如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，C是劣弧eq\o(DB,\s\up8(︵))的中点，过点C作AD的垂线，分别交AD，AB的延长线于E，F两点．

(1)求证：EF是⊙O的切线；

(2)若DE＝eq\f(1,2)BC，求图中阴影部分面积和△AEF面积的比．

(1)证明：连接OC，

∵C是劣弧eq\o(DB,\s\up8(︵))的中点，

∴eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，

∴∠CAD＝∠CAB，

∵OA＝OC，∴CAB＝∠ACO，

∴∠CAE＝∠ACO，∴OC∥AE，

∵AE⊥EF，∴OC⊥EF，

∵OC是⊙O