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重庆巴蜀中学中考数学二次函数和几何综合专题

一、二次函数压轴题

1．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．

（1）求点、点、点的坐标；

（2）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究当为何值时，四边形是平行四边形；

（3）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2．问题发现：如图1，在△ABC中，∠C=90°，分别以AC，BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG．

（1）△ABC和△DCF面积的关系是______________；（请在横线上填写“相等”或“不等”）

（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI，正方形DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．

图1

图2

图3

3．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，x＝﹣x+1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．

（1）下列关于该函数图像的性质正确的是；（填序号）

①y随x的增大而增大；

②该函数图像关于y轴对称；

③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；

④该函数图像不经过第三象限．

（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图像；

②若关于x的方程2x+c＝[x]有两个互不相等的实数根，请结合函数图像，直接写出c的取值范围是；

（3）若点（a，b）在函数y＝x﹣3图像上，且﹣＜[a]≤2，则b的取值范围是．

4．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下．

（1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如下：

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

…

3

-1

0

-1

0

3

…

其中，______．

（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分．

（3）进一步探究函数图象发现：

①方程有______个实数根；

②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是______．

5．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6．综合与探究

如图，已知二次函数的图像与轴交于，B两点，与轴交于点C，直线经过B，C两点

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是线段BC上一个动点，过点P作x轴的垂线于点Q，交抛物线于点D，当点Q是线段PD的中点时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，若点M是直线BC上一点，N是平面内一点，当以P，D，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点N的坐标．

7．已知函数，某兴趣小组对其图像与性质进行了探究，请补充完整探究过程．

…

－3

－2

－1

1

2

3

4

5

…

…

－6

－2

2

－2

－1

－2

…

（1）请根据给定条件直接写出的值；

（2）如图已经画出了该函数的部分图像，请你根据上表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，补充该函数图像，并写出该函数的一条性质；

（3）若，结合图像，直接写出的取值范围．

8．某校九年级数学兴趣社团的同学们学习二次函数后，有兴趣的在一起探究“函数的有关图象和性质”．探究过程如下：

（1）列表：问______．

x

…

0

1

2

…

y

…

6

2

0

0

0

2

m

…

（2）请在平面直角坐标系中画出图象．

（3）若方程（p为常数）有三个实数根，则______．

（4）试写出方程（p为常数）有两个实数根时，p的取值范围是______．

9．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+3经过A(1，0)、B(－3，0)两点，与y轴交于点C．直线BC经过B、C两点．

（1）求抛物线的解析式及对称轴；

（2）将△COB沿直线BC平移，得到△C1O1B1，请探究在平移的过程中是否存在点O1落在抛物线上的情形，若存在，求出点O1的坐标，若不存在，说明理由；

（3）如图2，设抛物线的对称轴与x轴交于点E，连结AC，请探究在抛物线上是否存在一点F，使直线EF∥AC，若存在，求出点